Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Ък=2Ък{а2к_1 -al) + 2bk_ia2k_i -2Ьк + 1а*. (4.1.84)
Эти уравнения эквивалентны уравнению Лакса
L=[L,M2], (4.1.85)
180
где матрица М2 имеет вид
/О 01 7i
-01 О 02 72
-7i -02
О
\
' Уп-2
(4.1.86)
\
' ' • . ' ' ¦ . 0п - 1 .
~~Гп-2 -0п-1 0 j
Здесь
0* = (Ь* +ЬЛ+1)ДЛ, fr=l,...,/i-l, (4 187)
Ук=акак+1, к= 1,. ,.,п-2.
Решение уравнений движения (4.1.84) дается рациональными функциями X/ и
exp(Xfc /).
Интересно, что уравнения (4.1.84) обладают инвариантным многообразием Ьк
= 0, к = 1, ..., п, на котором они сводятся к уравнениям
Эти уравнения определяют изоспектральную деформацию матрицы Якоби с
нулевой главной диагональю.
Подставляя вместо ак величины ск = а\, получаем
т.е. известные уравнения Вольтерра.
4.2. Цепочка Тоды как динамическая система на орбите коприсоединенного
представления группы треугольных матриц
В настоящем разделе будет показано, что непериодическая цепочка Тоды
тесно связана с определенной разрешимой группой Ли - группой вещественных
верхних треугольных матриц. Эта связь была обнаружена и использована в
работах [109, 222, 292]. Она дает простую геометрическую интерпретацию
цепочке Тоды и позволяет значительно упростить доказательство ряда
результатов.
Начнем с установления основного факта: фазовое пространство цепочки Тоды
можно рассматривать как орбиту коприсоединенного представления группы Ли
G - группы вещественных верхних треугольных матриц с определителем,
равным единице.
Напомним сначала некоторые основные факты относительно этой группы (см.,
например, [17]). Алгебра Ли $ группы G состоит из верхних треугольных
матриц с нулевым следом. Что касается пространства $*, дуального к -
пространства линейных функционалов на ?0, то возможны различные
реализации этого пространства. Мы используем две такие реализации,
приводящие к несимметричной и соответственно симметричной форме
представления Лакса.
ак(ак-\ ~ак+1).
(4.1.88)
^к ^Ск(Ск - 1 ?fc + l)>
(4.1.89)
181
А. Несимметричная форма представления Лакса. Здесь мы определим
значение функционала х € на элементе ? G $ согласно формуле
(х, ?> = tr(x?) . (4.2.1)
Тем самым пространство отождествляется с пространством нижних треугольных
матриц с нулевым следом.
Группа G действует в пространстве с помощью коприсоединенного
представления Ad*(g) согласно формуле
Ad*(g): х ->¦ (gxg~1)_, (4.2.2)
где нижний индекс минус означает, что элементы рассматриваемой
матри-
цы, стоящие выше главной диагонали, заменяются нулями. Возьмем в качестве
начального элемента
V (42.3)
О 10
Стационарная подалгебра 8f этого элемента состоит из матриц вида 0 0
(4.2.4)
Поэтому орбита коприсоединенного представления Of, проходящая через /,
имеет размерность 2 (и - 1) и состоит из матриц вида
bi
Zfy = 0, aj> 0. (4.2.5)
Естественная пуассонова структура на этой орбите определяется структурой
Ли-Пуассона на пространстве (см. раздел 1.11) и дается формулами
{bj,aj} =ajt {bj+1,aj} =-щ. (4.2.6)
Полагая bj = pj, д;- = exp (qj - <7/ + i), мы сводим (4.2.6) к
каноническим скобкам Пуассона для pj и q}-.
Таким образом, орбита Of является естественным кандидатом на роль
фазового пространства цепочки Тоды. Для того чтобы включить цепочку Тоды
в общую схему Костанта-Адлера-Симса [222, 109, 292] (см. раздел 1.12), мы
рассмотрим группу G как подгруппу группы G = = SL(h, Ш) - группы
вещественных матриц порядка п с определителем, равным единице, а также
рассмотрим дополнительную к G подгруппу F нижних треугольных матриц с
единицами на главной диагонали.
Очевидно, что алгебра Ли $ разлагается в линейную сумму алгебры $ и
дополнительной подалгебры $ - алгебры строго нижних треугольных
182
матриц, т.е. нижних треугольных матриц с нулями на главной диагонали, $ =
# + f. (4.2.7)
Соответствующее разложение в дуальном пространстве имеет вид 3?*=#* + FV
(4.2.8)
где ?* - пространство строго верхних треугольных матриц, - пространство
нижних треугольных матриц.
Поскольку на алгебре & существует невырожденное инвариантное скалярное
произведение (X, У) = tr(A!Y), мы можем с его помощью отождествить $ * и
i§. Таким образом, величины
**(*) = (4.2.9)
являются инвариантами коприсоединенного представления группы G.
п
Однако величины sk для х € Of (см. (4.2.5)) имеют вид к"1 2 ft*
и описьшают системы с тривиальной динамикой. Поэтому для описания цепочки
Тоды мы используем сдвинутые инварианты коприсоединенного представления
/Ч(х) = *г4г(л:+й)*, АеГ, (4.2.10)
Для того чтобы эти функции находились в инволюции, необходимо потребовать
выполнения условия (см. теорему 1.12.6)
(h,[f,f]) = 0. (4.2.11)
Общий вид h € $¦*, удовлетворяющего этим условиям, имеет вид
0 С\
0
-п-1 0
h = I и- , . | . (4.2.12)
Выберем в качестве h элемент 0 1 0 0
h-Е12 +Е23 + ... (4.2.13)
1 1 п П-1 1 п п-1
F2=- tr(x+h)2 = - 2 ft? + 2 ak = - 2 pf + 2 e4k~4k+l,
2 2 /=i fc = i 2 j=l fc = i
j (4-2.14)
и после замены переменных -> 2qj, - pj эта функция переходит
в^ гамильтониан (точнее, в функцию (1/4)#) для цепочки Тоды. Алгебра $=
