Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Ьгк 2 *
при условии, что на величины г* наложена связь
Zr* = l. (4.1.55)
1
Отсюда следует, что величины г* (/) меняются от г* = 6fcl при t -*¦- °°
ДО Гк = Ькп при t -"¦ +оо;
г*(0)е2***
*(') = 7^------------• (4.1.56)
Zr?(0)e2V
i
Оказьшается, что величины а/ и выражаются рационально через Ху и и, таким
образом, являются рациональными функциями от Ху и exp(XfcT).
Это утверждение, в свою очередь, является следствием обнаруженного
Мозером [252] представления функции /(X) в виде цепной дроби:
Я*)=Л,(>0 = ----------------j-^--------------------------------(4.1.57)
ап-1
X - Ь" ^-L-
¦ b-bn-i -.
Xi -*i
Докажем эту формулу. Пусть Д* - левый верхний угловой минор порядка fc
матрицы (X/ - L). Тогда, как нетрудно видеть, величины Ак связаны
рекуррентным соотношением
Ак = (\-Ьк)Ак-1 -а2к_1Ак_2. (4.1.58)
Отсюда следует рекуррентное соотношение для величин
*= *1=Дь ' До = 1- (4-1-59)
Afc-i
7. A.M. Переломов 177
Именно,
sk = (X - bk) - a\_ i (4.1 -60)
sfc-i
С другой стороны, можно показать [252], что
(4-1.61)
где fk - функция, построенная точно так же, как функция /, но для матрицы
порядка к, состоящей из первых к строк и столбцов матрицы (X/ -L).
Отсюда следует рекуррентное соотношение-
Л = - -1 2 7-------> (4.1.62)
л - t>k - ак-1 Jk-1
эквивалентное (4.1.57).
Для цепочки Тоды, состоящей из небольшого числа частиц, из (4.1.57) можно
получить явные формулы для величин д;- и Ьк через Ху и г*. Приведем их
лишь для простейшего случая двух частиц:
Х2Г1+Х1Г2 Х^+Хг/-! {^-2 ...
\ • '* ,i *ri • <4163>
3. Инволютивность интегралов движения. Подчеркнем, что полученные
результаты существенно использовали асимптотически свободное поведение
частиц при /-"±" и потому справедливы только для непериодического случая.
В частности, приведенное выше доказательство интегрируемости в
периодическом случае не проходит.
Однако здесь можно воспользоваться доказательством, данным в работах
[168, 169,88].
Именно, докажем, что два различных собственных значения X и д матрицы L
(являющиеся интегралами движения) находятся в инволюции.
Пусть этим собственным значениям соответствуют нормированные векторы и и
v соответственно: (и, и) = 1, (и, и) = 1. Очевидно, что X = = (и, Lu),
так что
ЭХ
(4.1.64)
- - и -Л
V \ /
Ър1
откуда следует ЭХ .2
= и ¦ (4.1.65)
Э Pj
Аналогично
ЭХ
- = 2(a;UjUj+1 -ai_1ui_1uf), (4.1.66)
Щ
где д;- дается формулой (4.1.8). Аналогичные формулы имеют место и для
величины д.
178
С помощью этих формул получаем
п
,2/
{X, д} =22 uf(ajVjVj+1 - <?/-i х и;) -
;_1 (4.1.67)
П
.,2/
- 2 2 и - (Л/Ы/Ы/+ 1 - 1 Ыу_ ! Ыу) ,
/=1
или
п
{X, д} = 2 2 И/U/Cfy + Л;-_ j), (4.1.68)
j=i
где
Л/ = а,-(|и,vj+! - VjUj+ !). (4.1.69)
Умножим теперь уравнение для и
а,-1Щ-1 + ajuj+1 + bjUj = Xu;- (4.1.70)
на Vj, соответствующее уравнение для и - на Uj и вычтем одно из другого.
Получим
UjVj= -i-(Rj_1-Rj). (4.1.71)
Х-д
Следовательно,
{ X, д } = -- 2 (Rf_ j - Rf), (4.1.72)
Х-д /=1
и в силу условия периодичности 7?"+1 = Ri сумма в (4.1.65) обращается в
нуль.
Можно показать также (см., например, [166]), что в периодическом случае,
за исключением подмногообразий в фазовом пространстве размерности и-1,
собственные значения матрицы L являются простыми. Это завершает
доказательство полной интегрируемости цепочки Тоды.
4. Задача рассеяния. Из предыдущего рассмотрения ясно, что в
непериодическом случае при t -*¦ ± °° частицы становятся свободными и,
следовательно,
"*(О = /#+";+0(е-6*), 5>0' '^+00' (4Л .73)
Qk(t) = pit+qj(+0(e&t)> t->-<*>. (4.1.74)
При этом, как мы уже видели,
Рк=хк> Рк=хп-к+1 (4.1.75)
и, следовательно,
Pn-k+i=Pk¦ (4.1.76)
Соотношение между величинами qf и qj имеет более сложный вид. А именно,
как было показано Мозером [252],
<7л-*+1 = <7* +с2Ф/Л(д"), (4.1.77)
/
12*
179
где
{1п( рГ - рк) для / < к,
, (4Л78) -1п(р/ -р*) для )>к,
с - некоторая константа.
Величина Фд представляет фазовый сдвиг между двумя частицами, движущимися
СО скоростями Pf, рк при t -"¦ - о°. Из формулы (4.1.77)
вытекает следующая интерпретация: частицы рассеиваются так,
как если
бы происходила последовательность лишь парных рассеяний'.
5. Высшие цепочки Тоды. Гамильтониан обычной цепочки Тоды имел
вид
1 . ,
#i = - trZ, .
2
Мы можем рассмотреть также гамильтоновы системы, описываемые высшими
гамильтонианами
Нк= ^-ytr(L*+1). (4.1.79)
Все такие системы также являются вполне интегрируемыми, и интегралы
движения .для них имеют прежний вид
Ik = ~tx(Lk). (4.1.80)
к
Все они обладают представлением Лакса
L=[L,Mk], (4.1.81)
где Мк - вещественная косо симметричная матрица, у которой к диагоналей,
ближних к главной диагонали, отличны от нуля; все остальные матричные
элементы равны нулю. Именно,
Mk = (Lky-(Lky. (4.1.82)
Здесь Аь означает строго верхнюю (соответственно нижнюю) треугольную
часть матрицы А.
Рассмотрим следующий по сложности пример системы с
H=H2=-tx(L3). (4-1-83)
3
Уравнения движения в этом случае имеют вид ^к=ак(ак-1 - ак+1 +Ьк - Ьк+1),
