Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
матриц равны нулю, за исключением элементов на главной диагонали и двух
соседних с ней диагоналях). Иными словами, матрицы L нМимеют вид
L=2 PjEjj + 2 exp(qk -qk+1)(Ek + E_k), (4.1.4)
1 = 1 k = 1
M= 2 exp(qk -qk+1)(Ek - E_k). (4.1.5)
k = 1
Здесь
Ek=Ek,k+1> E-k = E\ = Ek + 1 > k, (4.1.6)
Ejk - матрица, элемент которой, стоящий в /-Й строке и fc-м столбце,
равен единице, остальные элементы равны нулю. В периодическом случае
также имеет место представление Лакса, в котором L и М имеют вид (4.1.4)
и (4.1.5), где суммирование по к уже производится от 1 до п,
Еп ~En,i > Qn+i ~Ч\-
Эквивалентность уравнений движения и уравнения Лакса проверяется путем
непосредственных вычислений, которые мы оставляем читателю.
Прежде чем перейти к рассмотрению следствий из представления Лакса,
укажем еще несколько иных форм этого представления, полезных для
дальнейшего.
а) Несимметрическая форма
L- = 2 PfEff+ 2 {exp[2(qk -qk+1)] Ек+Е_к}, (4.1.4')
/ = 1 к = 1
М=2 2 exp[2(qk-qk+1)] Ек. (4.1.5')
к = 1
171
Эта форма получается из предыдущей путем преобразования подобия L -> QLQ-
1, M^QMQ'1 - QQ'1 + L,
п (4.1.7)
<2= 2 exp (qf)-Eff.
1 = i
б) Форма Флашки [168]. Перейдем от переменных pj, qк к новым переменным
aj = expfay - qj + 1), bk=pk, / = 1 (п - 1), к = 1....., л. (4.1.8)
Уравнения движения теперь принимают вид
bk = 2(-al + a2k_1), ак =ак(Ьк-Ьк+1). (4.1.9)
Мы получили систему уравнений с простейшей (квадратичной) нелинейностью;
отметим аналогию этих уравнений с уравнениями движения твердого тела
вокруг неподвижной точки, которые также квадратичны по динамическим
переменным.
Выражая гамильтониан через переменные ау и Ь*,'получаем
Н=- tr(L2) = - 2 Ъ) + Ъ а}. (4.1.10)
2 2ii
Соответственно для скобок Пуассона переменных д;- и Ьк имеем { йу,Д/_1 }
=-Д/_ 1, { Ь/,а/} =а,-. (4.1.11)
Остальные скобки Пуассона равны нулю. Это определяет пуассонову структуру
в пространстве переменных (д;-, Ьк).
Из (4.1.10) и (4.1.11) следует, что уравнения (4.1.9) можно записать в
гамильтоновом виде:
а,= 1Н.а/}, Ьк = {Н,Ьк). (4.1.12)
в) Приведем еще одну форму представления Лакса, которая допускает прямое
обобщение в терминах алгебр Ли (см. раздел 4.5).
П
Заметим, что величина 2 ру от времени не зависит. Это дает возмож-1
п
ность перейти в систему центра масс (2 ру- = 0), в которой динамически-
1
ми переменными являются величины
ai ~ ехр(<7/ -qj+i), /= 1,---,(" - 1),
1
Ъ 1=_ [(л - l)Pl -р2 - ... -рп\,
п (4.1.13)
1
Ь2=- [("-2) (Р! +р2)-2р3-...-2рп], п
1
ь"-1=- [Pl+ ¦¦¦ + Рп-1 -(п-\)р"]. п
172
В этих переменных для уравнений движения по-прежнему имеет место
представление Лакса (4.1.3), где
L =П2 Ь,Н,+ "х ак(Ек+Е_к), М= "х ак (Ек - Е_к), (4.1.14)
j = 1 к = 1 к = 1
величины ак и bj даются формулой (4.1.13), а
Щ ~ Ejj - Ej+i (j+1, Ек - Ек' ?+1, Е_к - Ек - Ek+i (к. (4.1.15)
Отметим, что эквивалентность представления Лакса и уравнений движения
сразу же следует из перестановочных соотношений для матриц Щ, Еки Е_к,
j,k= 1............(л-1),
[Hj,Hk]= 0, [Ej, Е^к]= Hj8jk, Щ, Ек] = CjkЕк. (4.1.16)
Здесь матрица Cjk определяет перестановочные соотношения для Hj и Ек и
имеет вид
2 -1
-1 2' • О
Cik=\ |- (4-1.17)
-I ''2
Построенное выше представление Лакса тесно связано с алгеброй Ли § =
sl(", IB) - алгеброй вещественных матриц порядка п с нулевым следом.
Рассмотрим естественное разложение
&=Х + дь, (4.1.18)
где X - алгебра вещественных кососсимметричных матриц, 5й- пространство
вещественных симметричных матриц. Тогда
[Х,Х\ С X, [ЛГ,3°] С 3°, [$>,$>1 СХ (4.1.19)
и при этом
LC.&, мех. (4.1.20)
Величины Hj,Ek и E_t порождают алгебру $, а величины^* ~Е_к)-~ алгебру X.
Пусть {е/} - стандартный ортонормированный базис в пространстве
IR": в\ = (1, 0, . . . , 0), . . . , еп = (0,0, . . . , 1).В
подпространствеIR"-1, ортогональном вектору е = (1, 1,. . . , 1), введем
базис {а15 . ••, о:" _!}:
"1 =<?i ~е2,..., ап_1 =еп_1 -еп, (4.1.21)
и дуальный к нему базис { Рк} :
1
Pi=- ((и - 1) <?! - е2 - ... - е"), п
р2 = - ((и - 2) (ег + е2) - 2е3 - ... - 2е"), (4.1.22)
п
1
Рп-1 = - ((^1 + е2 + ... + <?"_! - (и - 1) еп), п
(а/> Рк) &/к-
173
Тогда величины Uj и bk, входящие в матрицы L н М, принимают вид bj =
(fy,p), aj = exp(oij,q). (4.1.23)
В этих переменных пуассонова структура имеет особенно простой
вид:
{ bj,ak} = ak8jk. (4.1.24)
Приведем еще выражение для гамильтониана,
1 п- 1 п - 2 п- 1
Я=- tr(Z,2)= 2 bf - 2 */*/+!+ 2 e/ =
1 л -1 _ _ л- 1
- - 2 qkb,bk+ 2 cij, Cjk - О*/,<**)> (4.1.25)
и для уравнений движения:
bf = -2aj, aj = Cjkajbk = (aj,p)aj. (4.1.26)
Заметим, что векторы о,- полностью характеризуют рассматриваемую систему,
они образуют так называемую систему простых корней алгебры sl(", IR) .
Отметим, что угол между векторами ctj и а/ + 1 равен 120°, а все
остальные векторы ортогональны друг другу. Удобно изображать эти векторы
кружочками, соединяя неортогональные друг другу векторы линией. Мы
приходим, таким образом, к схеме Дынкина алгебры sl(", IR)
