Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
централизатор А в т.е. X - это множество элементов В ? № таких, что [В,
А] = 0. Элемент А сильно вырожден: для него собственные значения матрицы
adA равны 0, ± а. Следовательно,
3'>=3&+(r)^-' (3.11.3)
[А,Х]= 0, [A,Xt]=±aXt, Xte9i±.
Для величины Q = Q(x, г) ? 5й рассмотрим линейную спектральную задачу
Фх =(б + ХД) Ф, (3.11.4)
165
где X - спектральный параметр, t - время, а зависимость Ф(х, г) от
времени определяется уравнением
ф, = Р(х, г, X) ф. (3.11.5)
Тогда условие совместности уравнений (3.11.4) и (3.11.5) имеет вид
Qt=Px- [G+ха.р]. (3.11.6)
Пусть е±а - базис пространства , Л - постоянная диагональная матрица,
<2 = 2 (<7% +г-"е_а), (3.11.7)
а
Р=- 2 (fl?ea-rj"e_a)-- 2 <7^-^,е"] + Л + Х<2 + Х2А.
а а а а, р
(3.11.8)
Тогда уравнения совместности имеют вид
aq?=q$x+ 2 + ooaqa,
(3.11.9)
-а ' *¦
-0-76
<И-Г" =^" + 2 Л ? 7fi Г РГ V + War-
3, 7. "
где /?0>7)_б - тензор кривизны данного симметрического пространства числа
соа - линейные комбинации собственных значений матрицы А Интегрируемые
квадратичные потенциалы соответствуют стационарны" потокам системы
(3.11.9). При этом, как нетрудно проверить, эти пото ки являются
гамильтоновыми с гамильтонианом
я= 2 gc'~ppas_p + -• 2 Л_а(?7-б r~aqpqyr~s +
а, 0 2 а, 0, 7, б
+ 2 соа ga-pqar-p, (3.11.10)
а,Р
где величины ра = 2ga ,-р гх^ и s-p = 2 ga,-p Ях~ это импульсы, кано
0 a '
нически сопряженные координатам qa и гсоответственно, а ga0 : = tr(eaCp)
- метрика на симметрическом пространстве. Эти уравнени) допускают
представление Лакса
Ы
= [Q+\A,L\ (3.11.11)
Эх '
(при этом следует считать переменную х временной переменной).
Заметим, что
Я=^ tr(?2)|x = 0. (3,11.12
4
Интересные интегрируемые системы получаются при ограничении
г~а = -qa, s_a =-Ра- (3.11.13)
В этом случае канонические уравненця-имеют вид
Чхх =Щу-бРеРур6-u>aqa. (3.11.14)
166
Таким образом, каждому эрмитово симметрическому пространству размерности
2п (размерность пространства всегда четна) соответствует интегрируемая
гамильтонова система с п степенями свободы. Как хорошо известно, имеются
четыре бесконечные серии эрмитово симметрических пространств. Приведем
потенциалы для некоторых простейших систем:
- 2 Ч-q] ( Z ql)\ (3.11.15)
2 У = 1 2 У = 1
U(qlt. ..,q4) = ^ 2 b),qj+^(2 q%)2-(q^s-qiq*?, (3.11.16)
U(fl\,qi< q-i)= - 2) wy(fy'2 + 1)?y + ~ ( 2) (5;-2 + 1)qj )2 -
2 f = i , 2 у = l
-(<71<7з-<7!)2, (3.11.17)
16 I*
^("1"---,9б) = - 2 wy<?y+-( 2 "У )2 ~(<7з<75 - <72<?6 - <7i<?4)2,
2'" 2 (3.11.18)
14 1
</(<7i, ...,<?4) = - 2 co;<7/ +-(i:ql)2 - (<?!?3 +?2?4)2- (3.11.19)
2 у = l 2
Первые два потенциала отвечают симметрическому пространству SU(w +
n)/SU(w) X SU(n) X {/(1). Третий потенциал соответствует симметрическому
пространству Sp(4)/U(2). Четвертый потенциал отвечает симметрическому
пространству SO(8)/U(4) и, наконец, пятый потенциал отвечает
симметрическому пространству SO(6)/SO(4) X SO(2).
Можно показать, что все описанные системы являются вполне интегрируемыми.
При этом система Гарнье, рассмотренная в предыдущем разделе, связана с
симметрическим пространством типа SU(n + 1)/SU(") X X U(l). Следующей по
сложности является система, связанная с пространством SU(" + 2)/ SU(")X
SU(2) X U(l). Для этой системы матрица L (X) имеет вид
q2 + 5_! - п(п + 2) X2 р ... рк - i(n + 2) Xqk ...
р г2 + 60 - п(п + 2) X2 .. . sk - i(n + 2) \rk . ..
pj + i(n + 2) \q} sf + i(n + 2) Xr} -qjqk - rfrk +
. . + [2(л + 2)Х2 +ay] 8fk
(3.11.20)
где qk и rk - координаты, pk nsk - сопряженные им импульсы. Если ввести
обозначения
q2 = Ъ q\, г2= 2 г\, р2 =2 qkrk, (3.11.21)
к = 1 к = 1 1
167
то гамильтониан принимает вид
tr(L2)\ = о = ~ 2 (pI+s%)+^ qA + ^ г4 + р4 -
2 2 (%-50)4. (3.11.22)
2 к = 1 2 fc = 1
Таким образом, мы имеем дело с гамильтоновой системой с 2п степенями
свободы. Для этой системы имеется п интегралов движения, квадратично
зависящих от импульсов:
1 ,
F,- = 2 --------- (q,-pk - qkPj + r,sk - rksf) +
к Ф j a; - ak
+ pj + sj + qf q2 +rjr2 +2qfrfp2 + (8_1-ai)qf + (50 - "/) rj. (3.11.23)
Однако кроме них имеется также п интегралов движения четвертой степени по
импульсам. Как можно показать [174], все эти интегралы фундаментально
независимы и находятся в инволюции. Следовательно, рассматриваемая
система является вполне интегрируемой.
Отметим еще работу [103], где дана орбитная интерпретация рассматриваемых
систем.
Глава 4
ЦЕПОЧКА ТОДЫ
Цепочка Тоды - это система частиц на прямой с экспоненциальным
взаимодействием между ближайшими соседями.
Для бесконечного числа частиц на прямой такая система была впервые
рассмотрена в 1967 г. в работе Тоды [298, 299], который обнаружил, что в
такой ангармонической решетке могут распространяться незатухающие
нелинейные волны.
Случай конечного числа частиц отличается от изученного Тодой рядом
специфических особенностей и должен рассматриваться отдельно. Прежде
всего надо различать непериодическую цепочку п частиц на прямой, когда
первая и последняя частицы не взаимодействуют друг с другом, и
