Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Гамильтона (10.13.8) были выведены нами для голономной консервативной системы, однако нетрудно видеть, что они могут быть получены и для механических систем других типов.
1) Если система не является голономной, то, пользуясь обозначениями § 6.2, можно написать
і
«г = -^-, Pr= —~+ 2 W™, г=1,2, п. (10.13.12)
тп= 1
К этим уравнениям присоединяются Z дополнительных уравнений связи
%ВТдг + ВТ-=0, г = 1,2, (10.13.13)
S=I
202
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
2) Если система голономна и имеет п степеней свободы и если помимо сил, обладающих потенциальной функцией V, имеются еще другие заданные силы, то в обозначениях § 6.5 будем иметь
^ = ^' Р'=—%Г+&> г=1'2' (10.13.14)
Предполагается, что функции Q1- зависят только от q и не зависят от q. (В общем случае, когда Q зависят также и от q, уравнения не имеют формы х = = X, но их можно привести к этой форме, если каждая функция Q7. есть
линейная форма от q с коэффициентами, зависящими только от q.)
3) Если система голономна и имеет п степеней свободы и если имеются силы трения типа сил Релея (§ 10.11), то уравнения движения записываются в следующей форме:
'^ = TpT' И" "Г1' г = 1>2.....п- (Ю.13.15)
ддг
Поскольку F есть однородная квадратичная форма от q, эти уравнения можно
привести к виду х = X.
4) Варианты 2) и 3) легко обобщаются на случай неголономной системы.
Для этого достаточно добавить к правым частям уравнений для рт слагаемые і
S КщВтг и присоединить к полученным уравнениям I уравнений связи (10.13.13).
Функцию Гамильтона H мы получили из функции Лагранжа L. Можно решить и обратную задачу — найти функцию L, зная функцию Н. В самом
п
деле, L представляет собой функцию вида 2 РтЯг — Н, в которой р заменены на q, а такую замену легко сделать с помощью уравнений qr = dHldpr.
§ 10.14. Уравнение энергии и явное выражение для Н. Для голономной консервативной системы функция H в самом общем случае зависит от q, р и t, хотя в большей части конкретных примеров t отсутствует. Полная производная от H по t равна
г= I г= 1
и в силу уравнений Гамильтона
dH дН
dt- of (10.14.2)
Таким образом, если H не зависит явно от t, то эта функция сохраняет постоянное значение во все время движения:
H = h. (10.14.3)
Этот результат есть не что иное, как интеграл Якоби (§ 6.7). (Напомним, что если L не зависит явно от t, то и H не зависит явно от t, и наоборот.)
Получим теперь явное выражение для функции Н. Для натуральной системы
п п
Г = Г^у211 arsq\q\ (10.14.4)
§ 10.14]
УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ H
203
S prqr-L = 2T-(T-V) = T+V,
r=l
(10.14.5)
так что H совпадает с полной энергией T-{-V, причем T выражено через р вместо q. Поскольку
находим, что
Pr= 2 arsqs,
S=i
qr= 2 crsPs,
s=l
r=l,2,
г = 1,2,. . .,п,
(10.14.6)
(10.14.7)
где, как и в § 10.4, (crs) обозначает матрицу, обратную матрице (ars). Учи-
п ж
тывая, что 2T=^j PrQr, напишем явное выражение для H в следующей г=1
форме:
п п
Я = "Г2 2 Cr.PrP. + V. (10.14.8)
Г=1 S=I
Переход в функции T от q к р производится аналогично тому, как осуществляется переход от точечных координат к линейным в уравнении конического сечения в однородных координатах. Кроме того, T можно выразить через р с помощью уравнения
Q>m Pi а2п Pi
ani ап2 . • • апп рп Pi P2 ¦•¦ Pn 2Т
= 0.
(10.14.9)
Определитель размером (п + 1) X (п + 1) равен нулю, так как, умножая
г-ж столбец на qr ж суммируя от г = 1 до г = п, мы получаем последний столбец. Разлагая определитель, находим явное выражение для T в виде квадратичной формы от р.
Особый интерес представляет простой частный случай, когда система отнесена к ортогональным координатам; при этом матрица (aTS) диагональна. Если
¦2 dtfr-V,
то
г=1
Pr = a;qr
(10.14.10) (10.14.11)
r=l
(10.14.12)
Мы видим, что в этом случае выражение для H составляется сразу.
204
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
Рассмотрим теперь более общий случай ненатуральной системы
L = T2 + T1 + T0 - V. (10.14.13)
В этом случае, как и в § 6.8, можем написать
п
2 prqr-L = (2T2+ T1)-(T2+ T1 + T0-V) = T2 + V-T0 (10.14.14)
г=1
и H равно выражению T2+ V — T0, в котором q заменены на р. Полагая, согласно формулам (6.1.6) и (6.1.7),
п п
находим
Т" 2 2 ^sQrQs, T1 = 2 CIrQr, r=l S=I г=1
п
Pr= ^arsqs+ar, г=\,2,...,п, (10.14.15)
S=I
п
Qr=H crs (ps-as). (10.14.16)
S=I
Поэтому
2^2=2^(^-^)=2 2 crs(pr — ar) (ps — as), (10.14.17)
r=l r=l S=I
и выражение для H записывается в следующей окончательной форме:
п п
Я==4"2 2 Cr,(Pr-aT)(pt-a.)+V-T0. (10.14.18)
Г=1 S=I
Таким образом, функция H представляется в виде суммы H2 + H1 + H0, где Hт — форма степени г относительно р. Опуская для краткости знак суммы, можем написать
1 1
H2 = y CrsPrPs, H1- — cTSaTps, H0 = y Crsarcts + V — T0.
