Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом,
'PlX1 0 0 ... 0\ TBT =| 0 I (9.2.10)
Матрицы A1 и B1 являются матрицами определенно-положительных форм (полученных из форм с матрицами Т'АТ, T'ВТ при первой неременной, взятой равной нулю). Согласно нашей гипотезе, существует неособенная матрица U1 такая, что матрицы V1A1U1 и U[BJJ1 являются диагональными. Если обозначить
S = TU, (9.2.11)
где U — матрица вида
1 0 0 ... 0> U=\ 0 ui |, (9.2.12)
то преобразование
Q = Sl (9.2.13) приведет T и V к сумме квадратов. В самом деле,
q'Aq = l'S'ASl (9.2.14)
и
'X1 о о
S'AS = U''TATU=| 0 U[A1U1 |, (9.2.15)
152
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
а это есть диагональная матрица Л:
>к
x2
A = '
(9.2.16)
xn >
Точно так же
8'BS = AP, (9.2.17)
где Р—диагональная матрица
Pl
(9.2.18)
рЪ'
¦kpi
kpi
AP= I • I. (9.2.19)
Таким образом, T и V приводятся к виду
T=^(xt+кк+¦¦¦+Kt),
у=\ {kpiii+ крш+ ¦ ¦¦ + хпріїї).
(9.2.20)
Здесь I — главные координаты.
Из доказанной теоремы получаем важные следствия.
1) Как уже отмечалось, уравнения движения можно представить в форме
їт +prir = O, г =1,2, ...,п. (9.2.21)
Это суть уравнения Лагранжа, составленные по T и V ъ форме (9.2.20).
Уравнения движения (9.2.21) можно представить и в ином виде. Запишем их в матричной форме (9.1.12):
Aq+ Bq = O, (9.2.22)
где q—вектор» или матрица-столбец Iq1, q2, ..., qn). Посредством преобразования (9.2.13) получаем
As'i+BS% = 0, (9.2.23)
и так как
S'AS= A, S1BS = AI*, (9.2.24)
то из (9.2.23) следует, что
A(V-H-Pl)=O. (».2.25) Поскольку матрица А неособенная, это эквивалентно уравнению
1 + .Pl = O, (9.2.26)
которому соответствуют п уравнений (9.2.21).
§ 9.2]
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ГЛАВНЫМ КООРДИНАТАМ
153
, ,' (9.2.27)
2) Существует п линейно независимых собственных векторов, причем каждому корню кратности к уравнения периодов (9.2.1) соответствует к таких векторов. Обозначая через ит r-й столбец матрицы 8, находим из (9.2.24)
UrAtIs = O, гфв; UrAUr = K',
UxBUs = O, гфв; UxBUr=1KrP
Следовательно, ут, определяемый по формуле
(PiA-B) Ur = уV, (9.2.28)
удовлетворяет уравнению
usyT = 0 (9.2.29)
при всех s. Так как векторы щ, щ, . .., Un (столбцы неособенной матрицы 8) линейно независимы, из уравнения (9.2.29) следует, что
зв'Уг = 0 (9.2.30)
для всех ас. В частности,
VhJr = O, (9.2.31)
откуда получаем (поскольку ут — действительный вектор), что уг = 0, Таким образом,
{plA-B)Ur = 0, (9.2.2)
так что столбцами матрицы 8 являются п линейно независимых собственных векторов.
Уравнение (9.2.1) и уравнение
Ip2A-API = O (9.2.32)
имеют одни и те же корни; они равны диагональным элементам матрицы JP, а именно р\, р\, . . ., Pn- Поэтому, если, например, корень р\ = р\ = ... ... = р\ имеет кратность к, то соответствующие к столбцов матрицы 8 образуют систему А; линейно независимых собственных векторов, отвечающих А;-кратному собственному значению.
Из (9.2.24) следует, что если нормировать собственные векторы иТ так, чтобы
u'TAur = l, r=l,2,...,n, (9.2.33)
то каждое кт будет равно единице и выражения для TnV примут форму (9.1.22).
3) Найденные описанным выше способом п линейно независимых собственных векторов ит удовлетворяют условиям ортогональности:
u'TAus = 0, r=?s, (9.2.34)
u'rBus = 0, гфв. (9.2.35)
Заметим, что между задачами, в которых корни уравнения периодов простые, и задачами, в которых эти корни кратные, имеется существенная разница.
Решим теперь задачу другим способом, основывая решение не на алгебре квадратичных форм, а на уравнениях движения. Если корни уравнения периодов простые, то уравнение (9.2.2) определяет собственные значения единственным образом с точностью до скалярного множителя; условия ортогональности (9.2.34), (9.2.35) при этом выполняются автоматически.
154
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
В самом деле, из (9.2.2) следует, что
р\ (u'sAuT) = u'sBur (9.2.36)
и аналогично
pi (u'rAUs) = u'rBus. (9.2.37)
В силу симметричности матриц А и В имеем
u'sAur = u'rAUs, u'sBur = u'rBiig (9.2.38)
и из (9.2.36), (9.2.37) получаем
(Pr — pi) u'rAus = 0. (9.2.39)
Условие (9.2.34) вытекает из (9.2.39), поскольку pf — р\ 0, а условие (9.2.35) — из (9.2.37). Точно так же доказывается, что в любом случае, независимо от кратности корней уравнения периодов, два собственных вектора, соответствующих различным собственным значениям, всегда удовлетворяют условиям (9.2.34), (9.2.35).
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение периодов имеет кратные корни. Если р\ есть й-кратный корень, то к линейно независимых собственных векторов Ui, иг, ¦ ¦ -, Uu, построенных по решениям уравнения
(р\А -В) и = 0, (9.2.40)
не обязательно удовлетворяют условиям (9.2.34), (9.2.35). Однако по заданной системе векторов Ui, и2, . ¦ ., Uh мояшо с помощью известного процесса *) построить ортогональную систему Wi, W2, ¦ ¦ -, Wu- Для этого положим
