Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим натуральную систему (§ 6.5) с функцией кинетической энергии
г=4 2 2°™^» (9.1.1)
и функцией потенциальной энергии
V = V(qu q2, ¦ • ., Чп). (9.1.2)
В точке Qi, q2.....qn, в которой функция V имеет минимум, система может
находиться в состоянии устойчивого равновесия. Отсчет координат удобно производить от этой точки, тогда положению равновесия будет соответствовать точка О, где qi = q2 = . . . = q„ = 0. Без потери общности можно принять, что в ней V=O. Повсюду в окрестности О, за исключением самой этой точки, V > 0. Уравнение V=C для достаточно малых значений С представляет замкнутое (п — 1)-мерное многообразие S (С), внутренность которого, / (С)-область, характеризуется неравенством V <С С и расположена в малой окрестности точки О. Если функцию V разложить в ряд Тейлора в окрестности начала координат, то главные члены разложения
образуют определенно-положительную квадратичную форму. Для достаточно малых значений С многообразие S (С) мало отличается от эллипсоида с центром в точке О.
Имеем интеграл энергии
T + V = С. (9.1.4)
Если система начинает свое движение в непосредственной близости от точки
О с малой начальной скоростью, то постоянная С мала. В этом случае q и q во все время движения будут оставаться малыми и равновесие в точке О будет устойчивым. В самом деле, поскольку T ^ 0, движение происходит в области
7<С. (9.1.5)
Изображающая точка располагается в области / {C) или в исключительном случае (если во время движения эта точка останавливается) — на поверхности S (С). Это указывает на то, что значения qt, q2, . . ., qn остаются
§ 9.1]
КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
141
малыми в процессе всего движения. Далее, поскольку во время движения
V ^ О, справедливо неравенство
T < С, (9.1.6)
и, следовательно, величины gi, д2, ¦ ¦ ., Qn также остаются малыми. Поэтому достаточно хорошее приближение к действительному движению можно получить, сохранив в уравнениях движения лишь слагаемые первого порядка
относительно q, q и q. В этом заключается так называемое линейное приближение. Определяемое этим приближением движение тем ближе к точному, чем меньше значение С.
r-е уравнение Лагранжа может быть записано в следующей форме (см. (6.4.5)):
s=I w=I V--і
Мы сохраним лишь члены первого порядка относительно q, д и д. Тогда в левой части уравнения (9.1.7) будем иметь
a-rtfi + аГ2д2+ ¦ ¦ ¦ +атпЯп- (9.1.8)
Кроме того, можно считать, что коэффициенты ars в этом выражении имеют постоянные значения, равные их значениям в положении равновесия. В правой части уравнения (9.1.7) мы оставим лишь члены первого порядка в разложении в ряд Тейлора по </ь ?2: • • •• Яп-
Таким образом, для получения линейного приближения можно составить уравнения Лагранжа по выражениям T и V, каждое из которых представляет квадратичную форму с постоянными коэффициентами. Коэффициенты в выражении для T можно взять равными их значениям в положении равновесия; иными словами, для наших целей достаточно найти выражение для T в момент, когда система проходит положение равновесия. Функцию V можно представить членами второго порядка в разложении Тейлора в окрестности точки О, т. е. квадратичной формой вида (9.1.3). Таким образом, теория колебаний будет основываться на уравнениях Лагранжа, когда TnV задаются определенно-положительными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Мы будем пользоваться теми же обозначениями, что и ранее, а именно:
причем, как уже говорилось, коэффициенты ars постоянны. Для функции
V примем приближенное выражение (9.1.3):
в котором коэффициенты brs постоянны. В результате мы приходим к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами
п ^ # п
Se«fc+ 2*™?. = 0, г=1,2, (9.1.11)
s—1 s=I
Если матрицу (ars) обозначить через А, матрицу {bTS) — через Л и вектор (матрицу-столбец) {д±, g2. . . ., qn} —через q, то уравнения (9.1.11) можно записать в матричной форме:
AqJnBq = O. (9.1.12)
142
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
С помощью действительного неособого линейного преобразования квадратичные формы (9.1.9) и (9.1.10) можно одновременно привести к суммам квадратов с положительными коэффициентами. Одновременное приведение двух квадратичных форм к суммам квадратов всегда возможно, если по крайней мере одна из форм определенно-положительная. (То обстоятельство, что
в нашем случае одна из форм содержит д, а другая q, несущественно, так как
линейное преобразование q влечет за собой такое же преобразование q.) Можно найти новые координаты |ь |2, • • •, связанные с qu с/г» • • •, Qn линейными соотношениями, такие, что
і \ (9.1.13)
v=y(kpiii+kpiu +...+kpiil). J
Коэффициенты X и р в этих формулах суть вещественные положительные постоянные. При желании можно было бы пойти еще дальше и представить T в виде квадратичной формы, все коэффициенты которой равны единице, однако для динамической задачи это несущественно.
В координатах % r-е уравнение движения имеет вид
IV + PlIr = 0. (9.1.14)
