Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
р2 = pi = An2. (9.5.8)
Далее разыскиваются главные колебания, для которых х = z; получаем^ полагая сх = у:
P2 2g2 — 2g? + ?a _ (За — 2?)a-r-(a+?)a
бгс2 3a2 + 2?2 (За—2?)2 + 6(a + ?)2 '
(9.5.9)
Это выражение стационарно при -2- =-^- и -?-= —1. Соответствующие зна-
р о р
чения р2 равны pi = п2 и р23 = (зп2.
Таким образом, мы получили значения pi, р\, р\, которые раньше находили непосредственным вычислением; закончить решение задачи можно так же, как в примере 9.1А.
Принцип Релея представляет собой практически удобный способ решения задач, когда известны формы главных колебаний или когда общее представление о них можно получить из физических соображений.
Пример 9.5В. В качестве простого примера произведем расчет периода главного колебания, когда приближенно известна его форма. Рассмотрим однородную гибкую струну, натянутую достаточно большой силой. Пусть концы струны закреплены в двух фиксированных точках и она совершает поперечные колебания. Обозначим длину струны через I, ее плотность — через р, натяжение — через P и поперечное смещение — через у = у (х, t).
160
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
В этом случае мы имеем непрерывную систему (см. § 3.9), и, строго говоря, предыдущие результаты, полученные для систем с конечным числом степеней свободы, здесь неприменимы. Однако, основываясь на общих физических соображениях, эти результаты можно распространить на непрерывный случай. С требуемой степенью точности можно написать і і
о о
Основное колебание симметрично относительно середины струны X = у I. Поэтому рассмотрим колебание струны, при котором она принимает форму дуги параболы, симметричной относительно точки г=у I. Тогда будем иметь
у = Ax (Z — X) 9, (9.5.11)
где 8 = 9 (t). При этой форме струны кинетическая и потенциальная энергии будут иметь следующие выражения:
T = ^pVA2Q*, V=- іpc4sAW, (9.5.12)
Отсюда получаем р2 = 1Oc2Il2. Точная форма описывается уравнением
у = AQ sin UxIl), (9.5.13)
и р2 = Ti2C2Il2, так что наш, вообще говоря, довольно грубый расчет, произведенный на основе принципа Релея, дал значение р2, отличающееся от точного всего лишь на 1,3%.
§ 9.6. Устойчивость установившегося движения. Понятие об устойчивости мы до сих пор связывали с отклонениями от положения равновесия, однако его можно обобщить, если рассматривать отклонения от заданного движения.
Положение равновесия устойчиво, если при достаточно малом отклонении система остается вблизи этого положения и скорость ее при этом остается малой. Чтобы выразить это формально, введем функцию г = г (t):
I п п
г= У 2 (Qs-Vs)2+ 2 Ql
' S=I S=I
Здесь (X1, а2, . . ., ап — координаты, относящиеся к положению равновесия. Положение а устойчиво, если любому сколь угодно малому положительному числу є можно поставить в соответствие положительное число и = и (є) такое, что если г (0) < и, то г (t) < є при t > 0 *).
Дадим теперь определение устойчивости движения: движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии; общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия по минимуму потенциальной энергии.
п п
*) В качестве функции г (г) можно взять также функцию 2 lis — as I + 2 I's I"
S=I S=i
§ 9.6]
УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
161
Рассмотрим гироскопическую систему, т. е. натуральную систему, несколько лагранжевых координат которой являются циклическими (§ 6.11). Пусть qu q2, . . ., qm — циклические координаты, a qm+i, qm + 2, • ¦ -, qn — нециклические, или явные координаты. Нам известны т + 1 первых интегралов системы, именно т циклических интегралов, соответствующих т циклическим координатам:
дГ д
dqr
г = 1, 2,
т.
и интеграл энергии
T-W
С.
(9.6.1)
(9 6.2)
Движение, при котором скорости qi, q2, ¦ ¦ ¦, qm и координаты qm + i, qm + 2, . . -, qn имеют постоянные значения, является установившимся. При этом движении явные координаты удовлетворяют уравнениям
дТа SV
dqr
r = m + i, m-\-2, п.
(9.6.3)
Функция T0 получается из Т, если величинам qi, q2, . . ., qm придать постоянные значения, соответствующие установившемуся движению, а величины qm+i, qm + 2, ¦ ¦ •i qn положить равными нулю.
Примерами установившегося движения могут служить движение частицы в центральном поле по круговой орбите, круговое движение сферического маятника и установившаяся прецессия вращающегося волчка.
Пусть мы имеем установившееся движение, в котором циклические интегралы равны ?i, ?2, ¦ . ., ?m, а явные координаты равны am+i, am+2, . . . . . ., an. Рассмотрим возмущенное движение, при котором ? остаются неизменными, а начальные значения величин
