Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
0 - sin 0 (cos 0ф2 — 2j9cp + q) = 0, (9.7.19)
¦ sin20(p + 2р cos 0 = 2Х. (9.7.20)
Мы предполагаем, что р2 > q. Первоначально ось волчка имела установив-
1 *
шуюся прецессию, при которой 0 = а, 0 < а < у л, а ф = Q1 где Q —
§ 9.8]
ГИРОСКОП ФУКО
167
один из корней квадратного уравнения
cos a Q2 — 2pQ + д = 0. (9.7.21)
Рассмотрим возмущение, при котором р и x остаются неизменными. В момент
Z = O примем 0 = а, ср = Q, 0 = ?, где ? — малая величина. Полагая
в уравнении (9.7.20) 0 = a + ?, ф = Q + т), получаем с точностью до членов первого порядка относительно ? и T)
2(P-QCOS«) g (9.7.22)
1 sine. v '
так что т)/? остается постоянным во все время движения. Вычисляя линейное приближение для уравнения (9.7.19), замечаем, что выражение в скобках имеет первый порядок малости в силу (9.7.21), поэтому множитель sin0 можно заменить на sin а, после чего легко находим приближенное уравнение:
ї + Q2 sin2 al + 2 sin а (р — Q cos а) ¦n = 0. (9.7.23)
Исключая т) с помощью (9.7.22), находим
'і + ач = 0, (9.7.24)
где
х2 = Q2 sin2a + 4 (р — Q cos a)2 = Q2 sin2 а + Ap2 — Aq cos а. (9.7.25)
Если скорость вращения волчка очень велика, то х имеет порядок 2р = = CnIA. С принятой точностью приближения период нутации (т. е. колебания около установившегося прецессионного движения) равен 2я/х. Зависимость 0 от t имеет вид
0 = a+-|-sinxi, (9.7.26)
и, таким образом, угол наклона 0 оси волчка к направленной вверх вертикали изменяется в пределах a ± (?/х).
§ 9.8. Гироскоп Фуко. Рассмотрим вращающийся волчок, подвешенный к неподвижной точке О; пусть центр тяжести его G находится на одной вертикали с точкой О и вращение происходит около его оси. Если волчку сообщить малое возмущение, то его ось OG сохранит направление, близкое к вертикальному. Это имеет место независимо от скорости вращения и следует из уравнения энергии, которое можно записать в форме, аналогичной (8.6.8):
8» +sin2 0 ср'2 — 2q cos 0 = 2a. (9.8.1)
Когда ось стационарна, 2н = —2q; если эту величину немного изменить, положив 2a = —2q cos а, где а — малая величина, то для возмущенного движения получим
02 +sin20 ф2 — 2q cosje = —2qcos a (9.8.2)
и во все время движения будем иметь 0 ^ а.
При изучении возмущенного движения в окрестности направленной вниз вертикали удобно ось Ox направить вертикально вниз и избежать, таким образом, неприятностей, связанных с неопределенностью ф в состоянии покоя, возникающей, когда ось Oz направлена вертикально. Тогда будем иметь
L = ^-A (02+sin20 ф2)+ і С (ф + ф cos 0)2+ MgI sin 0 cos <p. (9.8.3)
168
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Полагая, как обычно,
rj) + cpcos9 = /z (9.8.4)
и используя это равенство при составлении уравнений Лагранжа для 9 и ср, получаем
А (0 — ср2 cos Э sin Э) + Спц> sin 9 — MgI і
} (9.8.5)
.А (ср sin 0+ 20ср cos 9) — CnQ+ MgI sin <
Z cos 0 cos cp = 0, I
:cp = 0. J
Во втором из этих уравнений произведено сокращение на множитель sin 0; он отличен от нуля (sin 0 близок к единице).
Чтобы рассмотреть возмущенное движение в окрестности вертикали,
направленной вниз, положим 0 = уЯ — z, ср = г/. Тогда с точностью до величин первого порядка относительно у я z направляющие косинусы оси волчка будут равны (1, у, z). Приближенные уравнения движения, составленные с такой же точностью, будут иметь вид
= 0. J
Ay + Cnz +MgIy = I
(9.8.6)
Az — Спу + MgIz --
Эти уравнения совпадают с уравнениями движения частицы в плоскости yz под действием линейно изменяющейся притягивающей силы и гироскопической силы (§ 8.8). Полагая w = у + iz и обозначая, как и ранее, р = = CnIIA яд = MgIlA, находим, что w удовлетворяет дифференциальному уравнению
it? — 2ipw + qw = 0. (9.8.7)
Решение этого уравнения имеет вид
w = Ae1 <8+р> ( + Be-1 C-P) (9.8.8)
где
s = vp2 + Ч, (9.8.9)
а коэффициенты А, В, вообще говоря, комплексные. При малом возмущении,
когда I u; I и | и>\ в начальный момент малы, | w \ все время остается малым и линейное приближение достаточно хорошо аппроксимирует действительное движение, по крайней мере для не слишком больших значений t.
Уравнения (9.8.6) можно очень просто получить с помощью метода, описанного в § 8.7. Имеем
Спи -JnAu X u = MgIuX v. (8.7.2)
Поскольку вектор v имеет теперь компоненты (1, 0, 0}, векторное уравнение (8.7.2) эквивалентно трем скалярным уравнениям
A (yz—zy') + Cnx = Q, л
A(z'x — xz)+Cny = Mglz, > (9.8.10)
А (ху — ух) -j-Cnz= — MgIy, •*
где и есть вектор (х, у, z). В нашей задаче у и z малы, а х близок к единице; учитывая это, мы приходим к уравнениям (9.8.6).
Рассмотрим решение уравнения (9.8.7) в двух частных случаях; начальные значения w и w обозначим соответственно через W0 и V0.
§ 9.9]
СПЯЩИЙ ВОЛЧОК
169
1) W0 = О, V0 вещественно и положительно (и, разумеется, мало); в момент t = О ось волчка имеет вертикальное направление. Решение имеет вид
w = ae^t sin si (a = v0/s). (9.8.11)
Траектория имеет форму розетки и в полярных координатах описывается уравнением
