Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
из дуг AB большого круга. 2) Если же точки А, О, В лежат на одной прямой, то предыдущие рассуждения теряют силу. В этом особом случае точки А и В располагаются на противоположных концах диаметра оболочки и направлений OA и OB недостаточно для определения ориентации тела. Через точки А и В теперь проходит не одна-единственная дуга большого круга. В этом случае поступим следующим образом. Возьмем какую-нибудь точку А' оболочки; она может быть произвольна, за исключением того, что не должна совпадать с точкой Л и не должна быть диаметрально противоположной ей. При этом направления OA и OA' полностью определяют ориентацию тела. Построим точки В' и С, связанные с А' точно так же, как точки BuC связаны с А. Точка С совпадает при этом с А' (так как иначе точка С не совпадала бы с А). Если точки А', О, В' не лежат на одной прямой, то доказательство завершается так, как мы показали выше. Если А', О, В' расположены па одной прямой, то перемещение представляет собой полуоборот около оси OL, где L — любой полюс дуги большого круга ABА'В''. Мы видим, что трудности возникают в случае, когда поворот равен полуобороту; с этим мы еще встретимся в дальнейшем.
Теорема Эйлера эквивалентна утверждению, что для любых двух ориентации тела можно указать единственную фиксированную в теле прямую OL, направление которой (равно как и направление вращения) остается неизменным. Любая прямая, фиксированная в теле и параллельная OL, остается после вращения параллельной первоначальному направлению. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к OL, может быть переведено в конечное положение путем перемещения в своей собственной плоскости.
Основываясь на этой новой точке зрения, можно дать другое доказательство теоремы Эйлера. Отрезок OA можно перевести в новое положение OA' совершая полуоборот около оси ОМ, где M— середина дуги AA' большого круга. После этого тело можно перевести в конечное положение путем
106
ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
[Гл. VII
поворота, скажем, на угол со около оси OA'. Можно считать, что дуга ЛЛ'^ <л и I со I я. Но при полуобороте около OM и последующем повороте
на угол ср около OA' одна прямая тела остается неподвижной. Для доказательства этого построим сферические треугольники A'ML и A'ML', как показано на рис. 11. Дуга UML перпендикулярна к биссектрисе AA', и каж-
дый из углов LA'M, MA'L' равен уф. Рисунок
относится к случаю, когда вращение около OA' на угол, меньший я, происходит в положитель-р ном направлении. Полуоборот около M пере-
водит точку P на движущейся ооолочке из первоначального положения L в положение L', а поворот около А' переводит точку P в положение L. Поэтому прямая OP в твердом теле остается неподвижной, и два эти перемещения в совокупности эквивалентны одному повороту около этой прямой.
§ 7.3. Матрица I и вектор Т. Рассмотрим теперь перемещение тела и теорему о существовании неподвижной прямой с другой точки зрения. Возьмем фиксированный в теле прямоугольный триэдр OYi, OY2, OY3 и рассмотрим матрицу направляющих косинусов осей OY\, OY2, OY3 по отношению к неподвижным осям OX1, OX2, OX3. Оба триэдра будем предполагать правыми. (Иногда будет удобнее пользоваться другими обозначениями, а именно оси подвижного триэдра обозначать через OA, OB, ОС, а оси неподвижного — через Ох, Oy, Oz.) Матрица направляющих косинусов имеет вид
(hi Z12 Z13X I21 Z22 Z23 . (7.3.1)
z31 Z32 Z33/
Элементы г-ж строки lri, Zr2, 1тз суть направляющие косинусы оси OYT по отношению к триэдру OXi, OX2, OX3. Первый столбец матрицы дает направляющие косинусы оси OZ1 по отношению к триэдру OYu OY2, OY3. Вообще элемент lrs выражает косинус угла между OYТ и OXs.
Если Xi, х2, х3 — координаты точки в системе OZ1, OZ2, OZ3, а ід, У2> Уз — ее координаты в системе OY\, OY2, OY3, то
у = Ir, (7.3.2)
где х — матрица-столбец {хи х2, X3}, а. у — матрица-столбец {ід, у2, у3}.
Если тело перемещается из первоначального положения, при котором оси OYi, OY2, OY3 совпадают с осями OZ1, OZ2, OZ3, то точка, фиксированная в теле и находившаяся ранее в положении у, переходит в положение х по отношению, конечно, к неподвижной системе OXiX2X3.
Матрица I является ортогональной матрицей размером 3x3:
111-=+1, W = Vl = I, (7.3.3)
где V обозначает транспонированную матрицу I; одно из собственных значений этой матрицы равно -|-1. Таким образом, существует ненулевой вектор X такой, что
у = х. (7.3.4)
Это равенство показывает, что существует прямая в теле, которая при повороте тела остается неподвижной.
S 7.3]
МАТРИЦА I И ВЕКТОР t
107
1(1'—I) = I-I.
1\\Г-I\ = \I-l\.
Для доказательства того, что существует собственное значение, равное +1, рассмотрим функцию
f(k) = \l-KI\ = \l'-KI\.
Имеем Отсюда Следовательно,
/ (1) = (-1)3/ (1), / (1) = 0.
Можно пойти дальше и получить с помощью матрицы I явные формулы для угла поворота и направляющих косинусов оси вращения. (Мы имеем в виду направляющие косинусы по отношению к неподвижной системе OXiX2X3, хотя на самом деле они не отличаются от направляющих косинусов по отношению к осям OYiY2Y3.) Уравнение
