Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) — 1 — Я < т| < — 1. Движение представляет собой либрацию между пределами Qf и 92 (см. рисунок) или между —9i и —92, причем
О < G1 < а < 02 < 4 га-
Рнс. 9.
мости от значении и; все они
*) График построен для случая со2 = 2»2, яри этом 03 = -=-я.
§ 6.10]
ОБОБЩЕННЫЙ ИМПУЛЬС
101
3) и = — 1. Бусинка находится в. покое в положении неустойчивого равновесия 9 = 0 либо совершает лимитационное движение, при котором 0 сначала, возможно, возрастает до значения 93, но затем монотонно убывает, стремясь к нулю при t^-oo.
4) — 1<Си<1- В этом случае мы имеем либрационное движение между пределами —? и ? (см. рисунок), близкое, вообще говоря, к либра-ционному движению обычного плоского маятника.
5) и = 1. Бусинка покоится в положении неустойчивого равновесия 0 = я (или, что то же, 0 = — я) либо совершает лимитационное движение, при котором при t OO 0 -*¦ я или 0 — я.
6) т] > 1. Если в начальный момент 0 > 0, то 0 все время возрастает вместе с t.
Этим перечнем исчерпываются возможные движения в рассматриваемой задаче. Тип движения зависит от того, в каком интервале значений лежит параметр и, и в каждом случае из уравнения (6.8.7) можно получить явное соотношение между 9 и I.
§ 6.9. Об одной ошибке. Укажем на одну распространенную ошибку *), связанную с получением уравнений Лагранжа из интеграла Якоби. Из уравнения (6.7.2) вытекает, что
і(2і4-^0, (6.9.1)
V=I Sg- '
или, что то же,
2 {4If
r=l 0Ir
По сути дела, это означает всего лишь изменение порядка действий при выводе интеграла Якоби из уравнений Лагранжа.
Из уравнения (6.9.2) нельзя вывести уравнения Лагранжа. Для этого нужно было бы быть уверенным, что уравнение
2{l(f)-^}»-° w
г=1
справедливо для произвольных значений X1, X2, ¦ ¦ ., Xn, тогда как равенство (6.9.2) показывает только то, что уравнение (6.9.3) выполняется тогда, когда каждое значение X1.
равно соответствующему значению qT в действительном движении.
§ 6.10. Обобщенный импульс. Частные производные dL/dqr, входящие в уравнения Лагранжа, называют обобщенными импульсами или просто импульсами; их обычно обозначают через рт:
Pr = ^. (6.10.1)
dqT
Импульсы линейно зависят от обобщенных скоростей qi, q2, . . ., qn; для натуральной системы они являются однородными линейными функциями от обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от д.
Позже мы увидим, что состояние системы в данный момент иногда бывает удобнее описывать с помощью q и р (координат и импульсов), а не с помощью q и q (координат и скоростей).
*) См., например, Дж Д. Б и р к г о ф, Динамические системы [35], стр. 22.
102
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
Приведем два простых примера.
1) Пусть частица движется в консервативном поле с потенциалом V. В этом случае функция Лагранжа имеет вид
? = ±т(х2 + у*+г*)-У, (6.10.2)
где х, у, z — обычные декартовы координаты. Обобщенный импульс, соответствующий координате х, будет равен
-^- = тх, (6.10.3)
Bx
т. е. будет равен проекции количества движения на ось Ох. В задачах, подобных этой, где лагранжевы координаты не нумеруются, мы иногда будем обобщенный импульс, соответствующий лагранжевой координате q, обозначать через pq; например, в рассматриваемой задаче
рх = —^- = тх. (6.10.4)
дх
2) Пусть частица совершает плоское движение под действием центрального поля притяжения ср (г) к точке О. Функция Лагранжа в полярных координатах будет иметь вид
L = ±-m(r*+r*Q*) — V, (6.10.5)
где
V = V(г)= j q>(6)dg. (6.10.6)
'о
В этом случае обобщенный импульс
Pe = -^- = mr2Q (6.10.7)
будет равен моменту количества движения относительно точки О.
§ 6.11. Циклические координаты. В § 6.7 мы нашли первый интеграл уравнений движения для систем определенного типа. Можно сразу указать еще один первый интеграл, если среди координат, описывающих систему, имеется так называемая циклическая координата. Координату называют
циклической, если она не входит в выражение для L (но gt, конечно, может входить в это выражение). Соответствующее уравнение Лагранжа тогда принимает вид
4(-^)=0. (6.11.1)
м х dqi 1
Отсюда
~ = const. (6.11.2)
dg і
Мы получили первый интеграл уравнений движения; он выражает постоянство обобщенного импульса Pi, соответствующего циклической координате qt:
Pi = const = B1. (6.11.3)
Это соотношение называют циклическим интегралом.
§ 6.12]
ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
103
Если в примере 1) § 6.10 У не зависит от х, то х — циклическая координата. В этом случае действующая на частицу сила всегда перпендикулярна к оси Ох. Соответствующий циклический интеграл
рх = тих = ?
выражает сохранение проекции количества движения на ось Ох.
В примере 2) § 6.10 координата 9 является циклической и соответствующий циклический интеграл
Pq = mr2Q -- ?
выражает сохранение момента количества движения относительно точки О.
§ 6.12. Инвариантность уравнений Лагранжа. Тот факт, что уравнения Лагранжа для голономной системы имеют одну и ту же форму, каковы бы ни были описывающие систему лагранжевы координаты, является очевидным, поскольку эти уравнения выводятся из основного уравнения (§ 62) или из принципа Гамильтона (§ 6.3). Тем не менее представляет интерес непосредственное доказательство инвариантности уравнений Лагранжа.
