Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
= C1C2(T1 +T2-T1X T,), (7.9.7)
поскольку
(T1 X i«) X (T2 X v) = T1 X T2. (7.9.8)
Из формулы (7.9.1) находим
C3Zc1C2 = 1 - tg \ a tg у ? cos к = 1 - T1 • T2, (7.9.9)
откуда получаем
T3 = (T1 + T2-T1X Т2)/(1 -Т, ¦ T2). (7.9.2)
Доказательство, использующее кватернионы. Для первого поворота используем кватернион (см. § 7.8)
^ = C1 (1 + .T1), (7.9.10)
а для второго — кватернион
S2 = с2 (1 + T2). (7.9.11)
При первом повороте точка тела, имевшая первоначально радиус-вектор г, переходит в положение, определяемое г, а при втором повороте — в положение, определяемое s; при этом
V = Q1Vq? (7.9.12)
и
* = ЯаГд? = mirtfqt = q3vqj\ (7.9.13)
где
q3 = qt9i = c2 (1 + T2) C1 (1 + T1) =
= c1c2 (1 - T1 • T2 + T1 -}- T2 - T1 X T2). (7.9.14)
8*
116
ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
[Гл. VII
Кватернион q3, определяющий результирующее вращение, равен
д3 = с3(1 +T3). (7.9.15) Сравнивая формулы (7.9.14) и (7.9.15), находим
C3 = C1C2(I-T1-T2) (7.9.16)
и
C3T3 = C1C2(T1-T-T2-T1XT2). (7.9.17)
Соотношения (7.9.16) и (7.9.17) тоже приводят нас к равенству (7.9.2).
Совершив повороты в обратном порядке, мы получим формулу, отличающуюся от (7.9.2) лишь знаком перед векторным произведением в правой части. Как уже указывалось, различие в выражениях для T3 связано с изменением направления вектора T1 X T2.
Пример 7.9А. Найти результат трех последовательных поворотов: поворота на угол гр около оси Oz, за которым следуют поворот на угол 0 около оси Oy, а затем поворот на угол ср около оси Oz.
111
Положим I1 = tg у 0, t2 = tg Y ф> t3 = tg Y1P- Операции, осуществляемые
T1 = (O, 0, t3) и T2 = (O, tlt 0), эквивалентны операции, осуществляемой
T' = (ht3, tu i3), (7.9.18)
а операции, осуществляемые T' ,и T3 = (0, 0, t2),— операции, осуществляемой
T= {-ti (t2 - U), ti (1 + tzt3), t2 + t3}/(l - t2t3). (7.9.19) Этот результат легко получить также и с помощью кватернионов. Имеем Ч = ?з9г?1 = (с2 + s2k) (C1 + S1J) (с3 + s3k) =
= (C1C2C3 — C1S2S3) + (S1C2S3 — S1S2C3) і +
+ (S1S2S3 + S1C2C3) і + (C1C2S3 + C1S2C3) к = = C1C2C3I(I - t2t3) + h(t3 -t2)i+ ti(i + t2t3) j + (t2 + t3) k), (7.9.20)
ГДЄ C1 = COSyO» S1 = SInY0; C2 = COSyT» S2 = SIHyT; C3 = COSy^P, S3 = I
= sin Y1P- Полученная нами формула эквивалентна соотношению
1 1
q = cos Y Y + sin у? (H + тІ + (7.9.21)
в котором I, т, п — направляющие косинусы оси результирующего вращения, а у — угол результирующего поворота. Величина вектора T равна
tg Y V» а направление его определяется направляющими косинусами I, т, п.
Сравнивая (7.9.20) и (7.9.21), приходим к (7.9.19). Отметим, что
1 + I TI2 = (1 4- tl) (1 f tl) (1 + tl)/(l - U3)\ (7.9.22)
и формула поворота, определяемого вектором Т, приобретает вид (см. (7.6.2))
Пример 7.9В. Найти результат трех последовательных поворотов: поворота на угол cp3 около оси Oz, за которым следуют поворот на угол ср2 около оси Oy и поворот на угол cp1 около оси Ох.
§ 7.11]
ОРИЕНТАЦИЯ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ. УГЛЫ ЭЙЛЕРА
117
Поступая, как в предыдущем примере, находим
т = (и + uj3, t2 - ht3, t3 + Ut2W - ht2t3),
где tr = tg -7j- срг. Формула поворота имеет вид
(7.9.24)
(7.9.25)
§ 7.10. Угловая скорость. Если в формуле (7.9.2) результирующего поворота углы а и ? считать малыми и пренебречь квадратами и произведениями этих величин, то формула приобретет простой вид:
T3 = T1 + T2.
(7.10.1)
В этом случае повороты коммутативны.
Из соотношения (7.10.1) легко установить векторный характер угловой скорости. Если угловую скорость представить как вектор to, направленный по оси вращения и равный по величине угловой скорости со, то сложение двух угловых скоростей будет подчиняться правилу сложения векторов:
CO3 = Cl)1+ CO2.
(7.10.2)
Можно, разумеется, получить формулу (7.10.2) и элементарным путем, не обращаясь к формуле результирующего поворота. Например, при выводе ее можно основываться на геометрических соображениях, приведенных в § 7.9, п. 1. Положим
а = cojof, ? = u)28f, V = co36f и будем стремить ot к нулю. Из рис. 15 находим
sin AC sin CB
sin у р
sm — а
(7.10.3)
Но так как при bt-иметь
• 0 точка С стремится к точке C0 на AB, то будем
sin AC0
-—,.-в- — - (7.10.4)
Далее, при 6f->-0 формула (7.9.1) принимает вид
COj = COj+ CO2+ 2CO1CO2 COS к (7.10.5)
и формулы (7.10.4) и (7.10.5) приводят к соотно- х шению (7.10.2).
§ 7.11. Ориентация твердого тела в пространстве. Углы Эйлера. Рассмотрим теперь способы ориентации подвижного триэдра OABC относительно неподвижного триэдра Oxyz. Оси OA, OB, ОС будем
считать фиксированными в теле и образующими правый ортогональный триэдр. Хорошо известен способ определения ориентации триэдра OABC относительно Oxyz с помощью углов Эйлера 6, со, гр; через 9 и со обозначены полярные углы оси ОС, а через 1(5 — угол между плоскостью zOC и плоскостью COA, принимающий нулевое значение, когда точка А лежит на дуге большого круга zC (рис. 16).
