Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно теореме Эйлера об однородных функциях
п
%qr^=2T2 + Tl. (6.8.2)
r=l дЯт
Тогда равенство (6.7.2) можно представить в виде
T2 + V - T0 = h. (6.8.3)
Мы получили явную форму интеграла Якоби.
Слагаемые T0 и —V входят в функцию Лагранжа равноправно, и невозможно выделить роль каждого из них в уравнениях движения. В истории развития теории магнитной энергии это обстоятельство сыграло, к слову говоря, не последнюю роль. Поэтому не вызывает удивления, что в левую часть равенства (6.8.3) эти величины входят в комбинации V — T0. Суще-
§ 6.8]
ЯВНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ЯКОБИ
99
ственно, что в интеграл Якоби не входит Ti. Обратимся к примеру с вращающейся системой координат, рассмотренному § 6.7. Интеграл энергии в этом случае такой же, как в случае, когда оси не вращаются, но к заданным силам добавлены центробежные силы, иными словами, к V добавлено
-±-Sm(o2(x'2 + y'2). (6.8.4)
Как уже было сказано, члены с Tt не входят в соотношение (6.8.3). В некоторых случаях можно пойти дальше и доказать, что они вообще не оказывают влияния на движение и их можно отбросить в выражениях для L. Это имеет место тогда, когда Ti имеет вид
п
-^f(Qi, да, .¦¦, Sn) = 2 -?"?'- (6-8-5)
г=1
В этом случае каждое из выражений
d I dTi \ дТі dt \ д-г ) дЧт
тождественно обращается в нуль (в чем нетрудно убедиться с помощью леммы (6.1.4) § 6.1). Если Ti имеет форму (6.8.5), то оно обращается в нуль при воздействии лагранжева оператора
_d__d___д_
dt d'qr дЯг '
Этот результат имеет важное прикладное значение в задаче о движении системы во вращающихся осях. Заметим, что если
T i = coSm(x'у' — у'х')
имеет форму (6.8.5), то влияние вращения на движение относительно вращающихся осей полностью учитывается введением центробежных сил. Это верно, в частности, для любой системы с одной степенью свободы. Этот факт очевиден: в случае одной степени свободы интеграл Якоби дает полное решение задачи, и этот интеграл не зависит от Ti.
В качестве конкретного примера рассмотрим скольжение бусинки по гладкой жесткой проволоке (не обязательно имеющей форму плоской кривой), которая вращается с постоянной угловой скоростью со около вертикальной оси. Для описания движения бусинки относительно проволоки можно забыть о вращении проволоки и ввести добавочное поле центробежных сил jwco2, где г — расстояние от оси вращения; это эквивалентно добавле-
нию к V слагаемого--mr2(o2. Важный частный случай разбирается ниже
в примере 6.8.
Прежде чем закончить изложение этого вопроса, укажем на одно более общее положение. Добавление выражения
-^-/(5*1, S3- • • •, SV. t) (6.8.6)
к функции Лагранжа L не оказывает влияния на уравнение движения. Это опять-таки следует из леммы (6.1.4). Члены в выражении для L, имеющие форму (6.8.6), несущественны и просто могут быть отброшены. Этот результат является также следствием принципа Гамильтона.
7*
100
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
Пример 6.8. Движение точки по вращающейся окружности. Пусть бусинка скользит по гладкому проволочному кольцу радиуса а, а кольцо вращается около вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью со. Рассмотрим движение бусинки относительно, проволоки.
Пусть 0 будет угловым перемещением бусинки из наинизшего ее положения на проволоке (см. пример 5.2А). Интеграл Якоби будет иметь вид
1
- ma2Qz — mga cos 9 — у та2аг sin2 9 = mgar\
или, что то же,
1 •
— 92:
2 °
п2 (т) -)- cos 9) + -^-0)2 sin2 9,
(6.8.7)
где п2 = gla. Это уравнение принадлежит к типу (1.2.10); мы видели, что характер движения для различных значений н можно определить по графику функции, стоящей в правой части уравнения. Если со = 0, то мы приходим к задаче о плоском маятнике и уравнение (6.8.7) приводится к (5.2.2). При малых значениях со график мало отличается от представленного на рис. 4 и возможные типы движения, вообще говоря, близки к типам движения плоского маятника. Критическое значение со равно п, и при со > п
возможные типы движения существенно отличаются от движений плоского маятника. Условие со > п означает, разумеется, что период вращения меньше периода малых колебаний маятника. Рассмотрим поэтому случай со > п и положим со2 = = п2 sec а, где а — острый угол. Правая часть уравнения (6.8.7) запишется теперь в виде
f (Q) = Ti2 (т) f cos 9 +у sec a sin2 9 j = 1
= у п2 sec а {2т| cos а + 1 + cos2 а —
— (cos 9 —cos а)2}; (6.8.8)
график этой функции представлен на рис. 9 *). Кривая имеет максимумы в точках 9 = ± а и минимум при 9 = 0. Возможны шесть типов движения в зависи-показаны на рисунке. (Вместо того чтобы с увеличением т) поднимать кривую, мы на графике обходимся одной кривой, ось X располагая тем ниже, чем больше ц.)
1) т) = - 1 - Я, где Я = (1 - cos а)2/(2 cos а) = (со2 - п2)2/(2п2(о2).
Это — наименьшее возможное значение н. Бусинка находится в покое (относительно проволоки) в положении устойчивого равновесия при 9 = а или при 9 = — а. Период малых колебаний (относительно проволоки) при нару-шении равновесия равен 2л/(со sin а).
