Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Имеем интеграл энергии и интеграл момента количества движения:
1(г'2 + г292) + ? = й, )
} (5.2.38)
r2e = a. J
Предположим для определенности, что а — положительное число, так что 8 возрастает вместе с t. В поле сил притяжения орбита располагается внутри
окружности 25 = h, если такая окружность существует. Исключая 9, находим
^ = ^-2»—-?-. (5.2.39)
Это уравнение принадлежит к типу (1.2.10), и решение его нами уже изучалось. В простейших случаях начальное значение г лежит между последовательными простыми вещественными' нулями Гі и Го функции / (г), где через / (г) обозначена правая часть уравнения (5.2.39) и 0 < г-, < r2. В радиальном направлении движение представляет собой либрацию между пределами Гі и г2, называемыми апсидалъными расстояниями, и орбита попеременно касается окружностей радиусов г = T1 и г = г2. Точки касания, в которых г достигает минимального и максимального значений, называются апсидами; та из них, в которой г = rt, называется перигелием, а та,
при а = у я; в этом случае
5*
68
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
і.Гл. V
в которой г = г2, называется афелием. Угловая скорость 9 изменяется от наименьшего значения alr\ (в афелии) до наибольшего значения а.1г\ (в перигелии). Угол, на который поворачивается радиус-вектор между двумя последовательными апсидами, называется апсидалъным углом.
Связь между t я г выражается следующим соотношением:
dt = ± (5.2.40)
Vf W v
Знак здесь выбирается согласно правилу, указанному в § 1.3. Таким образом, если частицы в момент t = t0 находится в перигелии, то
г
t-t0=\—?=- (5.2.41)
j Vf(D
(знак в правой части для краткости записи опущен).
Связь между г и 9 может быть представлена в форме
d? = -^dt = -\-?=, (5.2.42)
причем знак перед корнем определяется так, как указывалось выше. Если в перигелии 9 = 90, то уравнение орбиты будет иметь вид
Є-Є0= f -^=Ldg. (5.2.43)
Алсидальный угол равен
1
Vf (і)
(а/т-2) dr VTV)
(5.2.44)
Орбита представляет собой простую замкнутую кривую С одним перигелием и одним афелием, если і)? = я. Если отношение і|>/я есть число рациональное, т. е.
4Hb (5-2-45)
где р и q — целые числа, не имеющие общего множителя, то орбита является периодической с периодом
а = 2д(—(5.2.46) J Vf (г) V
Особый интерес представляют два частных случая. В изотропном осцилляторе притяжение пропорционально расстоянию от точки О, функция 93
имеет вид й = -^ п2г2 и орбита представляет собой эллипс с центром в точ-
ке О. Апсидальный угол равен у я. В случае же притяжения точки по закону Ньютона сила обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки О и 93 = — uVr. Орбитой является коническое сечение, один из фокусов которого расположен в точке О. Если начальная скорость не превышает величины ]/2иУг0, где г0 — начальное расстояние от точки О, то это сечение есть эллипс. Апсидальный угол равен я. Особенностью обеих задач — задачи об изотропном осцилляторе и задачи о движении в гравитационном поле по эллиптической орбите — является то, что орбита всегда периодическая, каковы бы ни были начальные условия.
Остановимся на этих задачах немного подробнее.
5 5.2]
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
69
1) Изотропный осциллятор. Имеем
r2 = 2h- n2r2 - ¦2J- = -J- (а2 - г2) (г2 - Ь2). (5.2.47)
Здесь расстояние до афелия г2 обозначено через а, а расстояние до перигелия T1 — через b; а > Ь > 0. Дифференциальное уравнение орбиты имеет вид
dr \2 г2 п2г2 82
Полагая v=l/r2, получаем его в виде
dv \2
(ж) = 4(?-^-^), (5.2.49)
1 1
где Vi = —и У2 = -г2". Если положить
1; = іЦ^.--2-р-со8ф, (5.2.50)
то найдем, что <р = ± 2 (9 — 8о), и уравнение орбиты перепишется в виде i- = V2 sin2 (в-0О) + vi cos2 (Є -в0). (5.2.51)
Осуществляя поворот осей на угол G0, ему можно придать форму уравнения эллипса с центром в точке О:
~ + ^ = (5.2.52)
Имеем
r2r2 = п2 (а2 - г2) (г2 - Ъ2). (5.2.53)
Отсюда
г2 = a2 cos2 n(t - t0) + b2 sin2 n (t — t0). (5.2.54)
Эксцентрический угол n (t — t0) точки на эллипсе, в которой находится частица, возрастает пропорционально времени *).
Вычисление в декартовых координатах в этой задаче было бы проще, чем в полярных. ;
2) Движение точки в гравитационном поле. В этом случае
г2 = (2ur2 + 2ur - а2)1г2 (5.2.55)
и h < 0; движение представляет собой либрацию между rt и г2 (0 < Гі < г2), где T1 и г2 — нули выражения 2/ir2 + 2ur — а2. Дифференциальное уравнение орбиты (если отношение г/9 заменить на drldQ) будет иметь вид
(^ж)Ч^-ін;-і)' <5-"б>
Чтобы проинтегрировать это уравнение, введем параметр ty, определив его следующим соотношением:
7-т(тГ + і)+T (-Ir-T-I (5.2.57,
Находим (-^g-)2 = 1> i|>=±(6 — 90). Орбитой, такиї. ^зом, служит кривая
*) Эксцентрический угол («аномалия») — угол между большой осью эллипса и радиус-вектором точки на окружности радиуса а с той же абсциссой х = a cos п if — J0), что и движущаяся частица. См. рис. 5.5. (Прим. ред.)
70
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
