Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
*) Этот случай был рассмотрен Ф. Э. В. Журдэном в 1908 г.
§ 4.21
ТРЕТЬЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
55
Вторая форма основного уравнения находит применение в теории удара; этот вопрос будет рассмотрен в гл. XIV.
§ 4.2. Третья форма основного уравнения. При любом возможном движении системы в каждый момент времени удовлетворяются уравнения связи
jv
Ъ Ar*. +Аг = 0, г= 1,2, ..., L. (2.2.5)
S=I
Дифференцируя их по t, получаем
jv
2(^. + ^-^.)+-^ = 0, г = 1,2, (4.2.1)
S=I
Оператор -^- означает
1 + 2*'"ST (4-2-2)
1=1
Если теперь рассмотреть два возможных движения системы при одной и той же конфигурации в момент t и одинаковых скоростях, но различных
ускорениях жиж+ Аас, то, помимо (4.2.1), будем иметь
jv
%{ats(x\ + Ax's) + ^xs}+^ = 0, г = 1,2, L. (4.2.3) .=1
Из уравнений (4.2-1) и (4.2.3) получаем
jv
2 Л«Ажв = 0, г= 1, 2, ..., L.
S=i
Конечные приращения ускорения Ax1, Ax2, ¦ ¦ ., Axn удовлетворяют уравнениям (2.2.9) для виртуальных перемещений; поэтому в основном уравнении (3.1.1) вместо 8хг можно написать АхТ. Проделав это, получим соотношение
jv
2 (тТхг — Хт) Ахг = 0, (4.2.4)
г=1
представляющее третью форму основного уравнения. Его можно записать также в виде
S {{mi-X) Ax+ (ту-Y) Ay'+ (mV— Z) Az} = 0. (4.2.5)
В третьей форме основного уравнения конфигурация системы, скорость и время считаются заданными и рассматриваются два состояния системы, отличающиеся только ускорениями, причем возможные приращения ускорения имеют конечную величину, а не бесконечно малую. В простейшем
случае Аас представляет собой бесконечно малую разность между близким к действительному возможным ускорением и действительным ускорением*).
Однако результат справедлив и в более общем случае, когда Аас — конечная разность между двумя любыми возможными ускорениями.
*) В этой форме уравнение применяли Гаусс и Гиббс.
56
ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФОРМЫ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. IV
Итак, в первой форме основного уравнения рассматривается бесконечно малое виртуальное перемещение из заданной конфигурации системы, во второй форме координаты не варьируются и рассматривается возможное приращение (не обязательно малое) скорости и в третьей форме координаты й скорости не варьируются и рассматривается возможное приращение (не обязательно малое) ускорения.
§ 4.3. Принцип Гаусса наименьшего принуждения *). Пусть заданы конфигурация и скорость системы в момент времени t. Напишем выражение
г=1
зависящее от хи х2, ¦ ¦ ., xN, и будем рассматривать те значения х, которые возможны при заданных конфигурации и скорости системы. Принцип Гаусса
утверждает, что в этом классе значений х выражение С для истинного ускорения минимально. Иными словами, для истинного ускорения выражение С принимает меньшее значение, чем для любого другого возможного ускорения. Эта теорема была открыта Гауссом в 1829 г. Доказательство ее очень
просто. Пусть х— истинное ускорение, а х + Аас — любое другое возможное ускорение. Пользуясь сокращенными обозначениями, можем написать
ІС=і2т{(ї+ді-і)ЧіЧНТ--
= у 2 и» (А*)2+ 2 ("« — ¦X) А*. (4.3.2)
Последняя сумма в силу (4.2.4) обращается в нуль. Таким образом,
AC > 0, (4.3.3)
если только Ax отлично от нуля.
Уравнения движения заданной системы получаются как следствие более слабого условия, а именно условия стационарности С для истинного движения. Чтобы получить эти уравнения, достаточно написать равенство
ОС = 0. (4.3.4)
Отметим, что в принципе Гаусса мы имеем дело с простой алгебраической задачей о минимизации квадратичной формы. Осуществляя эту минимизацию, мы получаем дифференциальные уравнения движения.
§ 4.4. Приложения принципа Гаусса. Принцип Гаусса тесным образом связан с уравнениями движения в форме Гиббса — Аппеля, которые будут рассмотрены в гл. XII и XIII; там же будут приведены решения более сложных задач. Здесь же мы ограничимся несколькими простыми примерами.
Пример 4.4А. Машина Атвуда. Две массы M и т соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий блок, и движутся по вертикали. Определить движение масс.
Если / — ускорение массы т, движущейся вверх, и массы М, движущейся вниз, то можем написать
C=T{M{f-gy+m{-t-gy). (4.4.1)
*) Оригинальное изложение принципа Гаусса наименьшего принуждения см. в работе: К. Г а у с с, Об одном новом общем принципе механики, в сборнике «Вариационные принципы механики» под ред. Л. С. Полака, M., Физматгиз, 1959.
§ 4.4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ГАУССА
57
Отсюда
(M + т) С = i- {(M+т) f - (M -т) g}* + 2Mmg\ (4.4.2)
Выражение С достигает минимума при
так что ускорение имеет постоянное значение. Еще проще этот результат получается из условия
= О df '
выражающего стационарность функции С.
Пример 4.4В. Обезьяна и противовес. Пусть теперь вместо груза массы т на конце нити находится обезьяна той же массы, и пусть она лезет вверх по нити. Положение обезьяны относительно нити в момент t зададим функцией ф (t) класса C2 и будем предполагать, что первоначально система находилась в покое и что ф (0) = ф (0) = 0.
