Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
дхг ~dt
dt,
L+2,
1, 2,
dqN, dt, является
N.
(5.7.6)
Рассмотрим теперь виртуальные перемещения. Виртуальные перемещения Oz1, Ьх2, ...,Oxn удовлетворяют уравнениям
JV
2 ^Sx8 = O, г = 1, 2, L.
S=I
Уравнения (5.7.7) удовлетворяются выражениями
JV
m=L+l
при произвольных значениях 8qL+1, бдь+2, . .., 8qN, поскольку
JV
¦4-і дха OQm
S=I
dxs dqm
(5.7.7)
(5.7.8)
(5.7.9)
если г ^ L и т > L. Более того, это — виртуальное перемещение в наиболее общем виде. Виртуальные перемещения определяются произвольными приращениями oqL+u 8qL+2, . . ., &qN, причем время t не варьируется.
Описанный выше процесс позволяет осуществить формальный переход от декартовых координат к лагранжевым, однако на практике применяют
so
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
значительно более простой способ преобразования координат. Как уже отмечено ранее (§ 5.1), в большей части случаев выбор лагранжевых координат может быть произведен непосредственно.
§ 5.8. Лагранжевы координаты для неголономной системы. Предположим теперь, что уравнения связи (2.2.4) не являются вполне интегрируемыми. Пусть число независимых линейных комбинаций, допускающих интегрирующий множитель, будет равно L — I. Тогда уравнения связи могут быть записаны в виде
dfr = 0, г = 1, 2, . . ., L - I, (5.8.1)
(йг = 0, г = 1, 2, . . ., I, (5.8.2)
где со — пфаффовы формы от дифференциалов dxt, dx2, . . ., dxN, dt. Число I является инвариантом системы, и не существует какой-либо интегрируемой комбинации уравнений связи, независимой от (5.8.1). Рассмотрим теперь преобразование
qr = fr, г = 1, 2, . . ., N, (5.8.3)
в котором /і, /2, . - ., Jl-i — функции, стоящие в левой части уравнений (5.8.1), а последние I -\- к -функций / представляют собой подходящим образом выбранные функции от аргументов X1, х2, . . ., xN, t, принадлежащие классу C2- Функции J1, /2, . . ., / Jv от аргументов X1, х2, . . ., xN, t независимы и принадлежат классу C2. Как и ранее, преобразование (5.8.3) будем считать обратимым, так что для соответствующей области qt, q2, . . ., qN, t переменные X будут однозначными функциями gut.
В новых переменных первые L — I уравнений связи будут иметь простой вид:
qr = ar, г = 1, 2, . . ., L — I. (5.8.4)
Если постоянные аг зафиксированы, последние к + I переменных q определяют положение системы. Однако теперь остаются I уравнений связи (5.8.2), которые не допускают интегрируемых комбинаций. В новых переменных эти уравнения представляются в следующей форме:
N
%Br-adq, + Brdt = 0, г=1, 2, (5.8.5)
S=I
Эти I уравнений Пфаффа не допускают интегрируемых комбинаций. Поскольку <7ь <І2, ¦ ¦ ¦, Ql-i постоянны, соотношения (5.8.5) эквивалентны уравнениям Пфаффа с к + I + 1 членами:
JV
2 Brsdqs+Brdt = 0, г=1, 2, (5.8.6)
s-=L-'+l
Коэффициенты Brs, Вг представляют собой известные функции от аргументов <7, t, принадлежащие классу C1.
Таким образом, для неголономной системы не представляется возможным выбрать лагранжевы координаты так, чтобы число их равнялось числу степеней свободы. Наименьшее возможное число лагранжевых координат больше числа степеней свободы на число уравнений связи, не допускающих интегрируемых комбинаций.
Возможные перемещения системы определяются равенствами
JV
§ 5.9]
КАЧЕНИЕ ТЕЛА
81
Входящие сюда к + I +1 дифференциалов
dqL-i+i, dqL_i+2, . .., dqN, dt
связаны лишь соотношениями (5.8.6). Виртуальные перемещения системы выражаются соотношениями
jv
6^= S Ws8qs' (5-8-8)
J=L-г+1 s
причем к \-1 дифференциалов связаны условиями
jv
2 ад-8 = 0, г= 1,2.....I. (5.8.9)
S=L -1+1
Чтобы убедиться в том, что виртуальные перемещения действительно определяются соотношениями (5.8.8) и (5.8.9), нужно доказать, что они удовлетворяют уравнениям
jv
2^бхг = 0, то=1, 2, ...,L-I, (5.8.10)
г=1
И
jv
2 А„,.6з:Г = 0, m = 1, 2, ...,Z (5.8.11)
г=1
(см. (2.2.9)). Для уравнений (5.8.10) это очевидно; что касается уравнений (5.8.11), то они выполняются в силу равенств
jv
Вл= S ^™?' 8 = 1-1 + 1, L-1 + 2.....N.
m—i
Как и в голономных системах, введение лагранжевых координат практически производится более простым способом. В каждой конкретной задаче обычно нетрудно выбрать эти координаты наиболее удобным образом.
§ 5.9. Качение тела. Ранее были указаны два простых, хотя и несколько искусственных примера неголономных систем: кривая преследования (§ 1.8) и планиметр (§ 2.1). Наиболее часто с неголономными системами мы встречаемся в задачах, связанных с качением одного тела по другому. Рассмотрим твердое тело, положение и ориентация которого в пространстве определяются шестью координатами: |, и, ?, O1, 02, G3 (см. § 5.1, п. 5). Для заданной частицы тела
х = Ъ + а11 + Ы2+ cl3, (5.9.1)
и для произвольного перемещения dt, dr\, dt,, dQi, d82, ^9з имеем
dx = dt + a dli + b dlz + с dl3 (5.9.2)
и два аналогичных соотношения. В равенстве (5.9.2) координаты a, b и с постоянны. Если частица находится в покое, то
