Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1)о = 0, 2) 0<а <т|з (К), 3) а = а|з (h).
Рассмотрим последовательно эти три возможности.
1) а = 0. Этот случай соответствует задаче о простом маятнике, рассмотренной в примере 5.2А.
2) 0 < a <ij) (h). Кривая третьего порядка три раза пересекает ось z (рис. 6), причем
— 1 < z3 <zo < Z2 < 1< Z1. (5.3.12)
Координата Z3 отрицательна, — 1 < z3 < Z0 < 0; координата Z2 может быть как положительной, так и отрицательной. Движение вдоль оси z есть либрация между Z3 и Z2. Траектория точки на сфере располагается между двумя
§ 5.3j
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
73
горизонтальными окружностями, поочередно касаясь их. Если р, определяемое формулой
±?-VZdz _ 53ЛЗ)
It J (1_22)У/(2)
есть число рациональное, то движение является периодическим. Полагая P = p/Qi где P и Q — положительные целые числа, не имеющие общего-множителя, получаем период равным
гМ * . (5.3.14).
в J Vf(z)
В самом деле, приращение ср при изменении z от Z3 до Z2 и обратно до Z3 равно-
Z2
2J'
~|/а dz
Z3
(1-Z2) Vf (*
и орбита является периодической, если это приращение равно 2л, умноженному на некоторый рациональный множитель, т. е. если оно равно, скажем, (р/д) 2я; период равен времени, в течение которого происходит q полных колебаний между Z3 и Z2.
Найдем теперь явное соотношение между t и z. Имеем
z'2 = 4 (z - Z1) (z - z2) (z - z3), (5.3.15)
где через z' обозначена производная dz/dx, а т — новая безразмерная временная переменная, равная т =
Перепишем уравнение (5.3.15) в виде
Ш-т)}'-*{(-4М--т)Н(-т)-
-(*Ч)}{(—rH-"-*)}- <5."»>
Обозначим
#2
/i _ h _ h
¦ Z\ -g- , — Z2 з" > е3 — z3 з"
= 4-(?2+3)' ^3 = 4 {a—1-(9?-?3)}
и введем функцию f (z). Если начало отсчета времени выбрать таким образом, чтобы при ( = т = 0 Z = z3 (т. е. z—= е3^ , то будем иметь
z-^ = f (X+ Щ), (5.3.17)
Тогда значение ср в момент t найдется из соотношения
с2ф = -|^|с2т, (5.3.19)
в правую часть которого вместо z следует подставить его выражение из (5.3.17).
74
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
3) а = гр (К). Этот случай относится к задаче о коническом маятнике. Частица движется по окружности в горизонтальной плоскости z = z0. Период о равен 2я У(— az0lg), т. е. 2я У big, где Ъ — расстояние от центра сферы до плоскости, в которой происходит движение. Движение устойчиво в том смысле, что малое возмущение приводит к движению типа 2), ограниченному узкой полосой на сфере в окрестности первоначальной круговой траектории.
В заключение отметим, что аномальную точку h = — 1, а = 0 можно считать предельной для каждого из трех случаев. Частица находится в покое в положении устойчивого равновесия в наинизшей точке сферы.
§ 5.4. Задача двух тел. Две частицы P1 и P2 движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения. Обозначим массы частиц через Jn1 и т2, а расстояние P1P2 через г. Сила, действующая на частицу Pi, равна 4Tn1Tn2Ir2, и направлена от P1 к P2; через у здесь обозначена гравитационная постоянная. Сила, действующая на частицу P2, равна ут^ч/г2 и направлена от P2 к P1. Поэтому ускорение частицы P2 относительно частицы P1 в любой момент времени равно у (Tn1 + т2)1гг и направлено от P2 к P1. Относительное движение таково же, как движение частицы P2 с ускорением, равным T (mi + т2)1г2 и направленным в каждый момент в фиксированную точку P1. Орбита (в относительном движении), очевидно, является плоской; положение плоскости определяется начальным положением прямой P1P2 и начальной (относительной) скоростью частицы P2 (если только она не направлена вдоль P1P2, в последнем случае движение прямолинейно).
Если известно движение частицы P2 относительно P1, то движение ее относительно центра масс G определится из соотношения
GP2= 7 P1P2.
В задаче двух тел (если Вселенную считать состоящей всего из двух частиц) центр масс G движется равномерно и прямолинейно. Если известно движение центра масс G, а также движение P2 относительно G, то можно определить движение P2 в пространстве; совершенно так же, разумеется, молено определить движение частицы P1. Поскольку точка G движется равномерно, можно воспользоваться ньютоновой системой отсчета (часто так и поступают); центр масс в ней будет находиться в покое.
Рассмотрим теперь движение частицы P2 относительно P1. Движение это таково, что ускорение P2 направлено к фиксированной точке и равно ц/г2, где Li = у (Ui1 + т2). Выберем неподвижный центр притяжения в качестве начала координат, а плоскость движения примем за плоскость z = 0. •Эта задача кратко уже рассматривалась нами в § 5.2 как иллюстрация к общей теории центральных орбит, здесь мы решение получим более простым путем и подвергнем его более детальному анализу. Уравнения движения имеют вид
х = —• -prj- cos 6, г/ = —•^-sin 0, (5.4.1)
где х, у — декартовы координаты, а г, 0 — полярные координаты. Сохранение момента количеств движения выражается уравнением
r20 = a = const. (5.4.2)
Примем для определенности, что а > О (случай а = О, соответствующий прямолинейному движению, оставим в стороне), Из уравнений (5.4.1),
