Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
-Иг=+Р" (24-ЗЛ5)
Нужно, однако, иметь в виду, что при пользовании контактными преобразованиями, по существу, стираются различия между координатами и импульсами. Так, например,
S 24.4]
ОБОБЩЕННОЕ ТОЧЕЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
493
в формулах (24.3.12) «координаты» Q1. и «составляющие импульса» Р'г представляют одни и те же физические величины.
В этой книге мы будем придерживаться стандартной формы записи теоремы Гамильтона — Якоби (16.2.4):
-?, (24.3.16)
§ 24.4. Обобщенное точечное преобразование и другие однородные контактные преобразования. Рассмотрим точечное преобразование
Qr = Fr (Qu <?2, . • ., Qn), г = 1, 2, . . ., п, (24.4.1)
выражающее переход от одной системы лагранжевых координат к другой; функции F образуют здесь систему п независимых функций от (Qi, Q2, . . . . . ., Qn), принадлежащих каждая к классу C2. Будем рассматривать натуральную систему и обозначим соответствующие импульсы, как обычно, символами р ж Р. Тогда преобразование переменных (q; р) в переменные (Q; P) будет однородным контактным преобразованием; его называют расширенным или обобщенным точечным преобразованием. Это следует из того
факта, что скалярное произведение prqr, где q — любая скорость (не обязательно скорость, связанная с импульсомр), является инвариантом. (Строго говоря, если воспользоваться тензорными обозначениями, то следовало бы
писать qr вместо qr, поскольку q — ковариантный вектор.)
Таким образом, PrQr = PrQr, и> следовательно,
РТ dQr = Pr dqr, (24.4.2)
так что преобразование является однородным контактным преобразованием. Нетрудно написать явные формулы этого преобразования. Если
2Т = arsgrL = ArsQrQs, (24.4.3)
то
Pr = ArtQl = aulQ-1?Qt = atJ1?qJ = pt (24.4.4)
Соотношения (24.4.1) и (24.4.4) определяют контактное преобразование. Как и следовало ожидать из физических соображений, величины P являются линейными однородными функциями от р. Уравнения преобразования не содержат времени.
Разумеется, не составляет труда вывести эти формулы с помощью общего метода § 24.3. В рассматриваемом случае величины q и Q не являются независимыми; в самом деле, между этими величинами имеется ровно п независимых соотношений (24.4.1). Ранг матрицы (24.2.6) равен нулю. С другой стороны, величины р, Q и t не связаны никакими соотношениями, ибо в противном случае существовала бы связь между независимыми переменными (qi, q2, . . ., qn; pi, р2, . . ., рп; г). Поэтому уравнения преобразования можно взять в форме (24.3.3), (24.3.4); в самом деле, если
U = -PrFr, (24.4.5)
то формулы (24.3.3), (24.3.4) принимают вид
qr = Fr, Pr = P1^-, (24.4.6)
совпадающий с (24.4.1) и (24.4.4).
Если производящую функцию взять зависящей от q и Q (что, очевидно, в данном случае нзудобно и делается лишь с целью иллюстрации), то для любого фиксированного
494
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
значения t будем иметь
Рт dQr = рг dqr — К (dir — dFr), (24.4.7)
откуда
ЯР-
>V = Pr, Pr = ^i ¦ (24.4.8)
Таким образом, множителями %г являются импульсы рг.
Рассуждения легко распространяются на случай расширенного точечного преобразования, содержащего t; в этом случае функции Fr в формулах (24.4.1) также будут зависеть от t. Мы по-прежнему можем пользоваться производящей функцией (24.4.5); формулы (24.4.6) не изменяют своего вида, хотя теперь содержат t.
Аналогичным образом исследуется и тот случай, когда Q явно выражены как функции q (и, возможно, t). Уравнения (24.4.1) заменяются при этом следующими:
Qr = U <72, • • ., qn; t). (24.4.9)
Производящая функция задается выражением
U = PrIr- (24.4.10)
Уравнения преобразования (24.3.10) принимают вид
Pr = PtJ!+-, Qr = U. (24.4.11)
В расширенном точечном преобразовании, не содержащем t (и являющемся частным случаем однородного контактного преобразования), имеется п тождественных соотношений между переменными q и Q. Фактически для любого однородного контактного преобразования, не содержащего t, можно указать по крайней мере одно тождественное соотношение, связывающее переменные q и Q- Для доказательства достаточно заметить, что уравнение
Рг dQr = Pr dqr (24.4.12)
влечет за собой в соотношений
Рг+% = 0, s = l,2.....п. (24.4.13)
VPs
Отсюда следует, "что определитель
№|| (24.4.14)
II ops Il
тождественно равен нулю, а это в свою очередь означает, что между переменными q и Q существует соотношение (§ 24.2).
§ 24.5. Специальная форма уравнений преобразований. Бесконечно малые контактные преобразования. Рассмотрим контактное преобразование, в котором переменные q и P (и, возможно, t) не связаны никаким тождественным соотношением. Положим в общих уравнениях преобразования (24.3.6) — (24.3.8)
U = qTPT + М, (24.5.1)
где M—M (q; Р; t). Тогда будем иметь
дМ дР
' Oq
Qr-Qr = ^7, (24.5.2)
pr-Pr=—lur- (24-5-3)
Я--IT- (2^-5.4)
(Аналогичные формулы получаются и в том случае, когда производящая функция зависит от переменных р, Q и t.)
§ 24.7]
