Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
3) Если ро — точка, лежащая вблизи отрезка без контакта S, то проходящая через эту точку траектория пересекает отрезок S. Прежде всего уточним формулировку теоремы. Пусть q — внутренняя точка S, а е — заданное положительное число. Тогда существует положительное число б = б (е) такое, что если d (q, р0) < б, то начинающаяся в точке р0 положительная или отрицательная полухарактеристика пересечет отрезок S через промежуток времени, не превышающий длительности интервала (—е, е); если р (t) есть траектория, для которой р (0) = р0, то существует число 0 такое, что —е -< 0 <С е и р (Q) ? S.
Прежде чем переходить к доказательству, введем новые переменные путем аффинного преобразования, пои kotodom отрезок S переходит в отре-
390
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
зок Xi ^ X X2 на оси х, Xi < 0 <; х2, а точка q — в начало координат. Траектория, начинающаяся при t = 0 в точке р0 = (х0, Уо), представляет собой кривую р (t; х0, у0). Обозначим составляющие через
X (t; х0, у0), у (t; х0, у0).
Требуется доказать, что при достаточно малом Vх\ + УІ уравнение
у (t; х0, у0) = О (20.3.1)
имеет решение
t = ф (S0, г/0), (20.3.2)
причем это решение таково, что | t | <С е и точка х (ф; х0, у0) лежит внутри (xi, х2). Производная
-^f у (t; х0, у0)
не обращается в нуль в точке t = х0 = у0 = 0, так что при достаточно малом УГх\ + УІ решение наверняка существует. Кроме того, ф (0, 0) = 0 и функция ф непрерывна по (х0, у0), так что | ф (х0, у0) | мало, если мало У~х\ -\-уг0. Наконец, если t и ]/ xl + у\ малы, то мало и х, что завершает доказательство.
§ 2O.4. Отрезок без контакта, проходящий через точку множества Л.
Пусть С — положительная полухарактеристика, для которой предельное множество Л не сводится к одной особой точке. Обозначим через Z обыкновенную точку множества Л, а через S — отрезок без контакта, проходящий через I. Всякому заданному положительному числу е соответствует положительное б (е) такое, что если траектория начинается при t == т из точки, удаленной от I меньше чем на б, то эта траектория пересекает отрезок S в некоторый момент времени, заключенный в интервале (т — е, т + є) (§ 20.3, п. 3). Далее, каково бы ни было произвольно большое число t0, существует еще большее число t' такое, что
d {P (О, I) <б-
Следовательно, за промежуток времени {t' — е, t' + є) кривая С должна пересекать отрезок S. Таким образом, существует бесконечное множество значений t, для которых точки р (t) лежат на отрезке S. За конечный отрезок времени происходит конечное число пересечений, поэтому моменты пересечения можно перенумеровать так, чтобы
ti <с t2 < ?3. . .
При этом tn стремится к бесконечности вместе с п. Обозначим точку р (tr) на отрезке S через рг. Имеются две возможности. 1) Если точка р2 совпадает с pi, то траектория С является циклической и все точки pi, р2, р3, . . . совпадают. 2) Если точки р2 и pi различаются, то точка р3 отличается от Ji1 и р2 и точка р2 располагается между точками pi и р3. Здесь необходимо обратиться к теореме Жордана. Рассмотрим простую замкнутую кривую Г, составленную из дуги pip2 траектории С и отрезка D2D1 прямой S. Если изображающая точка попадает внутрь области, ограниченной кривой Г, то она там и остается, поскольку она не может пересечь ни дугу pip2 траектории С, ни прямолинейный отрезок p2pi. Поэтому точка р2 лежит между точками D1 и р3 (рис. 91, а). Аналогично, если изображающая точка оказывается вне области, ограниченной кривой Г, то она там и остается, и опять-таки точка р2 лежит между точками D1 и р3 (рис. 91, Ь).
Таким образом, точки Jj1, р2, р3, ... на отрезке S либо все совпадают, либо все различны; в последнем случае они образуют монотонную последовательность. Эта последовательность, будучи монотонной и ограниченной,
§ 20.5]
СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА Л
391
имеет предел, который принадлежит множеству Л и, следовательно, может быть только точкой I. В силу единственности предельной точки других точек множества Л, отличных от I, на отрезке S быть не может.
Результаты, изложенные выше, можно сформулировать в виде следующей теоремы. Пусть I — обыкновенная точка множества А, которое является положительным предельным множеством траектории С, a S — отрезок без
а) Ь)
Рис. 91.
контакта, проходящий через точку I. Тогда, во-первых, на отрезке S нет точек множества А, отличных от I, и, во-вторых, траектория С является циклической тогда и только тогда, когда она пересекает отрезок S лишь в одной точке.
§ 20.5. Структура множества Л. Предположим снова, что предельное множество Л положительной полухарактеристики С не сводится к особой точке. Теперь мы знаем, что траектория, начинающаяся в точке множества Л, целиком принадлежит этому множеству. Предположим, что множество Л содержит траекторию С, предельное множество которой (положительное или отрицательное) не сводится к одной особой точке. Тогда траектория С является циклической и A = C'.
Докажем сначала, что С есть циклическая траектория. Пусть р — обыкновенная точка, скажем, положительного предельного множества Л' кривой С". Множество Л' составляет часть Л (поскольку С принадлежит Л и это множество замкнуто), так что р ? Л. Пусть S будет отрезок без контакта, проходящий через точку р. Тогда S пересекает Л в единственной точке р. Таким образом, S пересекает С в одной-единственной точке р, и, следовательно, траектория С является циклической.
