Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) Собственные значения вещественны и различны по знаку, скажем, X1 << 0 <I X2- Уравнения имеют вид
Решением будет
и ¦ —P1U,
V = X2v.
(19.4.25) (19.4.26)
К точке О подходят лишь положительные полухарактеристики, для которых V0 = 0. Остальные траектории представляют собой кривые типа
и0е~^, V = у0е^'.
368
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
гипербол (точные гиперболы получаются при Xi = Lii), а также (при U0 = 0) ось v; изображающая точка движется по этим кривым в бесконечность (рис. 78). Особенность этого типа называется седловой точкой или седлом.
v
и.
Рис. 78. Рис. 79.
3) Собственные значения являются комплексно-сопряженными (равны а ± i?, а=^0). Вещественное линейное преобразование в этом случае приводит к уравнениям
и = au — $v, V = ?u + av, (19.4.27)
или, в более компактной форме,
W = (а + i?) w, (19.4.28)
где w = и + iv. Решение имеет вид
w = w0e(a+ie)i = peaW-'°>, (19.4.29)
причем р и і вещественны, a W0 = ре~4P'». Переходя от декартовых координат (и, V) к полярным "(г, 6), получаем
г = ре«<, Є = ? (* — to). (19.4.30)
Если а <С 0, то г —v 0 при (->оо; при этом траектории стремятся к точке О, но не входят в нее. Кривые имеют форму спиралей (логарифмических спиралей, если координаты прямоугольные), закручивающихся около точки О в положительном направлении, если ? > 0 (рис. 79).
Особенность этого типа называется спиральной точкой или фокусом. Фокус устойчив, если а < 0. Если а > 0, то получаем неустойчивый фокус; в этом случае к точке О приближаются отрицательные полухарактеристики; г ->- 0 при t —>- —оо.
Пример 19.4А. Классический пример устойчивого фокуса мы имеем в случае затухающих колебаний. Эта задача нами уже рассматривалась в § 19.2, здесь мы вкратце повторим решение с целью проиллюстрировать выводы общей теории. Уравнения движения имеют вид
X= у, 'у = —п2х — 2ку. (19.4.31)
Собственные значения равны —к + ip, где р = ~\/пъ — к2. Вводя новые переменные
и = кх -f- у, V= рх, (19.4.32)
перепишем уравнения в форме
и = —ки — pv, V = ри — kv. (19.4.33)
19.і] ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 369
В полярных координатах (и = г cos 6, v = г sin 6) имеем
г = —кг, 6 = р.
Решение имеет вид
г = r0e~ht, 6 = pt. Мы приняли, что 6 = 0 при t = 0. Таким образом,
и = r0e~hi cos pt, V = r0e~ht sin pt.
Следовательно,
x = — = Ae~ht sin pt, P
kv
= Ae-bt (p gin —A; cos pt),
(19.4.34) (19.4.35)
(19.4.36) (19.4.37) (19.4.38)
где A = r0lp- Мы получили формулы (19.2.15), (19.2.16); траектория в плоскости ху показана на рис. 73.
4) Собственные значения чисто мнимы (равны ± i?). Этот случай мы получаем из предыдущего при а = 0. Уравнения имеют вид
'и = -?y, V = ?«. (19.4.39)
Решением будет
г = г0, Є = ? (t - t0). (19.4.40)
В плоскости Uv траектории представляют собой окружности, а в плоскости ху — эллипсы. Мы имеем здесь исключительный случай, когда все траектории являются замкнутыми и, следовательно, все орбиты периодические. Особенность такого типа называется вихревой точкой или центром.
Пример 19.4В. Классический пример вихревой точки дает гармонический осциллятор (пример 1.2А). Движение его описывается уравнением второго порядка
x + пах = 0 или двумя уравнениями первого порядка
x = у, у = —Tl2x. Собственные значения равны +г- Полагая и = пх, v = у, получаем
и = nv, V = —пи. Решением в плоскости Uv (и = г cos 9, V = г sin 6) будет
г = г0, 9 = — п (t — *„). Отсюда получаем известное решение в координатах х, у:
x=c COS Tl (t— tg),
у =— tic sin і
Траекториями в плоскости ху являются эллипсы
Ti2X2 + у2 = const. Пример 19.4С. Для системы
x = x + у, у = —2х — у собственные значения равны +?• Траектории находим из уравнения
(2х + у) x + (х + у) 'у = 0.
24 л. А. парс
-t0), X ¦ n(t-to). j
(19.4.41)
(19.4.42) (19.4.43) (19.4.44)
(19.4.45)
(19.4.46) (19.4.47) (19-.4.48)
370
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
Решая его, получаем
2х2 + 2ху + у2 = const. (19.4.49)
Следовательно, траекториями являются эллипсы (рис. 80). (Чтобы построить траектории,
заметим, что
(д sin ос—у cos et)2 (х cos et+у sin Gt)2
(УВ + О2 ^ (У5-1)2 '
причем tga=l/2(y5—1).)
Эта система фактически эквивалентна предыдущей, так как уравнения, можно
записать в виде
U= v, и = —и, (19.4.50)
где и=х и V = X -\- у. Решение будет иметь вид и=с cos {t — t0), V = —с sin (t — t0). (19.4.51)
Траекториями в плоскости ии будут окружности
к2 + г,2 = const. (19.4.52)
Уравнения (19.4.52) и (19.4.49), очевидно, эквивалентны.
§ 19.5. Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость.
Особые точки поля, или точки равновесия, представляют собой те точки, в которых изображающая точка может находиться в покое. Продолжим исследование устойчивости системы, которое мы начали в гл. IX.
Мы будем говорить, что положение равновесия, соответствующее особой точке О, устойчиво, если траектория, начинающаяся в окрестности точки О, остается вблизи нее и в дальнейшем. Пусть г {t) — расстояние изображающей точки от точки О в некоторый момент t:
