Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
области 8 > к', изображающая точка перейдет в область A2 (если только
перед этим она не выйдет за пределы круга г = rt). Как и ранее, оказавшись в области А 2, изображающая точка останется в этой области. Но в области A2
'r>kr, r>r0eht, (19.8.8)
что указывает на то, что при дальнейшем движений изображающая точка покинет круг. Итак, либо точка попадает в область A2 и затем выходит за пределы круга г = г1; либо она покидает этот круг прежде, чем входит в область A2. Особая точка неустойчива, что совпадает с результатом, полученным при линейном приближении. Рис- 82- Как и в случае линейного приближе-
ния, существует одна-единственная траектория, которая входит в точку О по направлению положительной оси х. Для доказательства рассмотрим траектории, начинающиеся в точках дуги CD окружности г = t1. Траектория с началом в точке D попадает в область B1, после чего она покидает пределы круга в точке, расположенной выше оси Ox (как мы видели выше). Аналогично, траектория, начинающаяся в точке С, попадает в область B4 и потом выходит из пределов круга в точке ниже оси Ох. Если теперь предположить, что все траектории, начинающиеся в точках дуги CD, принадлежат к одной из двух этих групп (т. е. они покидают пределы круга либо в верхней, либо в нижней полуплоскости), то придем к противоречию. На дуге CD имеем два открытых множества, следовательно, существует хотя бы одна разделяющая их точка, которая не принадлежит ни к одному из этих множеств; начинающаяся в этой точке траектория не относится ни к одной из указанных групп. Эта траектория не покидает пределов области A1 и, следовательно, входит в точку О вдоль оси Ох. Но с помощью тех же рассуждений можно доказать, что существует по крайней мере одна траектория, входящая в точку О слева по оси Ох.
Пример 19.8А. Простой маятник. В качестве примера рассмотрим простой маятник вблизи положения неустойчивого равновесия. Если отсчитывать значения 6 от верхней точки окружности, то уравнение движения запишется в форме
6 — п2 sin 6 = 0, п2 = gl а. (19.8.9)
Оно эквивалентно двум уравнениям первого порядка:
0 = ф, ф = п- sin 0. (19.8.10)
Напишем линейное приближение:
0 = Ф, ф = n2Q. (19.8.11)
§ 19.8]
ДВИЖЕНИЕ B ОКРЕСТНОСТИ СЕДЛОВОЙ ТОЧКИ
37?
Собственные значения равны + п, особая точка представляет собой седло. Из предыдущего нам известно, что существует траектория, которая входит в особую точку с двух противоположных сторон; в соответствующих лимитационных движениях маятник достигает верхней точки окружности.
На рис. 83 показаны траектории для общего случая (не только для случая движения вблизи особой точки). Особенности расположены на линии ср = 0 в точках 6 = 0 и 6 = +ял; точки 6 = 0 и6=±гел (где п четное) являются седлами, точками неустойчивого равновесия, а 6 = я. и 6 = ±пп (где п нечетное) представляют собой вихревые точки, точки устойчивого равновесия. Уравнения траекторий имеют вид
cp2=u)2—4re2Cos2 у 6> (19.8.12)
где (о — угловая скорость в нижней точке окружности; уравнение (19.8.12), разумеется, эквивалентно уравнению энергии. Для колебательных движений I ш I < 2п, для движений, в которых 6 непрерывно возрастает или убывает, I ш I > 2п- В критическом случае, когда энергетический уровень касается окружности в ее верхней точке,
Разделяющая кривая, или сепаратриса, определяется уравнением ср = ¦
| со | = 2ге. 1
-2п sm — 9>
(кривая ср = 2п sin — 6, изображенная на рисунке пунктиром, соответствует движе-
1_
T
нию, когда при t ->- оо 6 2я снизу; физически это движение не отличается от лимита-ционного движения, в котором при t оо 6 —>- О снизу, так что фактически пунктирная кривая также является частью сепаратрисы).
Пример 19.8В. Маятник в сопротивляющейся среде. Рассмотрим теперь случай, когда маятник движется в сопротивляющейся среде. Пусть, например, бусинка скользит по гладкой вертикальной проволочной окружности, испытывая сопротивление, пропорциональное скорости. Отсчитывая 0 от верхней точки окружности, запишем уравнение движения в форме
Є + 2А6 — п2 sin Є = 0. Оно эквивалентно двум уравнениям первого порядка:
(19.8.13)
9 = ср, ср = п2 sin 0 — 2Аф. Первое приближение будет иметь вид
(19.8.14V
ср, ф = ге20 — 2Аф.
(19.8.15)
Собственные значения равны —к ± р, где р = ~\/к2 -f- п2. Точка 6 = ф = О является седловой точкой. Существует траектория, которая входит в это седло с двух сторон.
В любой точке окружности можно сообщить бусинке такую начальную скорость, которая будет как раз достаточна для того, чтобы бусинка достигла верхней точки, хотя-время для этого может потребоваться бесконечно большое. Это чувствуется интуитивно. Можно представить, что существует критическое значение начальной скорости, ниже которого бусинка не дойдет до верхней точки окружности, а выше которой — пройдет ее.
Интересно рассмотреть совокупность траекторий в общем случае (а не только вблизи седловой точки). Заменив 6 на х и выбрав соответствующий масштаб времени, можно уравнение записать в следующей форме:
