Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
24*
372
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ІТл. XIX
є (х, у), 1
11 (X, У). )
уравнения запишутся в форме
X = ах + by + о у*,, у/, і (19 6 1)
y = cx+dy+'<
Здесь ad — be =^=0 и е/г и rj/r—v 0 вместе с г.
Обозначим через J^0 поле, определяемое одними только линейными членами:
P0 = ах + by, Q0 = сх + dy. (19.6.2)
Вблизи точки О поле F мало отличается от F0, точнее, при г->0 I F\ /| J^o I -> 1 и г|) —>• 0, где гр — угол между F0 и F. Это утверждение почти очевидно. Чтобы доказать его формально, заметим, что
JF0(^e) = I-JF0(I, 8) (19.6.3)
и отношение j JP1Q |/?" не обращается в нуль. В самом деле, | J^01//"> с> 0, где с —нижняя граница \F0\ на единичном круге. Кроме того, при г—>0
I .F-JF0 |/г = Ke2 + rf/r0. (19.6.4) Таким образом, | F— F01/| JF01 0, когда г—»0. Далее,
\F\ = \F0 + F-F01 = IF01 + XIF-F01, (19.6.5) где I А, 1-^1, следовательно,
:1 + ?- |J!~T01 (19.6.6)
I I 1 I I
и первое утверждение, таким образом, доказано. Доказательство второго утверждения следует из условия
sin i>< L^aL ^о. (19.6.7)
Иногда рассматривают радиальную и трансверсальную составляющие поля F; обозначим их соответственно через R и S, а составляющие^ — через •Ro и ^0.
Поле Jy0 мы исследовали в § 19.4; выясним теперь, в какой степени движение в окрестности точки О в поле F отличается от движения в окрестности этой точки в поле J^0. Однако теперь, в отличие от поляно» мы ограничимся характеристиками, начинающимися вблизи точки О.
Как мы увидим, движение в окрестности узла, седла или фокуса подобно соответствующему движению для поля J^0. Исключение составляет вихревая точка. В этом случае линейных членов недостаточно, чтобы решить вопрос об устойчивости. Это является несколько неожиданным, в особенности если учесть, что сюда относится задача о малых колебаниях (гл. IX). Однако в случае малых колебаний мы располагаем некоторыми дополнительными данными, получаемыми из уравнения энергии, факт устойчивости мы знаем заранее, и линейная теория в этом случае дает хорошее приближение к действительному движению. Но в общем случае оснований для такого рода утверждений нет.
Рассмотрим сначала положительную полухарактеристику, которая стремится к точке О и входит в нее. Если при і->- оо у/х —*¦ I, то одновременно ylx-> I, и поскольку
1= c*+fy+tl , (19.6.8)
; ax+by + e v
* 19.7]
ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ УЗЛА
373
находим
Вектор {1, 1} представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения X1 и X2 вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку О; если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О.
Рассмотрим теперь движение в окрестности особых точек различных типов.
§ 19.7. Движение в окрестности узла. Соответствующим аффинным преобразованием координат уравнения можно привести к виду
У), 1 (*. У)- S
(19.7.1)
X = X1X+ е(х, y = X2y + r\(z
Здесь мы вместо и, V ввели новые переменные х, у и г/г и v]/r—V 0 вместе сг. Рассмотрим более подробно случай X1 << X2 << 0.
Введем в новой плоскости ху полярные координаты, тогда для радиальной составляющей будем иметь
R0Ir = - (Li1 cos2 9 + Li2 sin2 0) < -Li2 < 0, (19.7.2)
где \ii = —X1 (см. (19.4.14)). Отсюда следует, что существуют расстояние г0 и положительное число Li такие, что для г ¦¦< rQ
#/г<-ц.<0. (19.7.3)
Рассмотрим теперь характеристику (г (t), 9 (t)), начинающуюся в точке
внутри круга радиуса r0, г (0) <С г0. Поскольку г = R < 0, изображающая точка располагается в этом круге и при 2> 0, и
1 dr г dt
= — <-Ll.
Следовательно,
r(t)<.r (0) е-М.
(19.7.4)
(19.7.5)
Таким образом, если 2 —v оо, то г (t) -> 0, и каждая положительная полухарактеристика, начинающаяся в достаточно малой окрестности точки О, приближается к О. Более того, траектория входит в точку О либо вдоль оси Oy, либо вдоль оси Ох. В самом деле, можно показать, что отношение у (t)lx (t) при t=>- оо стре- Рис^ 81. мится либо к +оо, либо к —оо, либо к нулю.
Для этой цели возьмем угол б и рассмотрим углы A1 = At (б) раствором 26 каждый (рис. 81). Для поперечной составляющей имеем
S0Ir = (Li1 — Li2) cos Є sin 9, (19.7.6)
так что вне углов A1 будем иметь
ISo Mr > (Li1 — Li2) cos б sin б > 0. (19.7.7)
Следовательно, существуют расстояние T1 = T1 (б), T1 ^r0, и положительное число Li' такие, что в точках вне областей A1 и внутри круга радиуса г,
374
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
выполняется неравенство
I S \1г > ц,' > 0. (19.7.8)
Вообще говоря, чем меньшее значение мы берем для б, тем'меньшее значение нужно для T1. Области, расположенные внутри круга радиуса t1 вне секторов A1, будем обозначать через B1, B2, B3, B4 (рис. 81). Угловая скорость 0 изображающей точки равна Sir; в областях B1 и B3 имеем
9>р'>0, (19.7.9)
а в областях B2 и B4
