Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
и= y(M+mi) ^ (18.17.2)
г і.
a R имеет выражение
R = ym2 (¦
Z1Z2+ 2/4!Z2 + Z1Z2X
Г12
(18.17.3)
Аналогичные уравнения мы будем иметь и для координат Jy1 и Z1, а также для координат второй планеты. При m2 = О возмущающий член R пропадает, и мы получаем знакомую нам задачу двух тел. Если масса тп2 мала, а расстояния г2 и ri2 остаются в процессе движения достаточно большими, то влияние возмущающего члена R можно рассматривать как постепенное изменение эллиптического движения. В § 25.3 мы еще вернемся к этому вопросу.
§ 18.18. Неортогональные и ненатуральные разделимые системы. Системы, для которых справедлива теорема Штеккеля, принадлежит к классу натуральных и ортогональных систем. Функция кинетической энергии T для таких систем представляет
однородное квадратичное выражение от q и р\ более того, это выражение содержит одни
23*
356
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
лишь квадраты. Существуют, однако, разделимые системы, которые не являются ни ортогональными, ни даже натуральными системами (так что для этих систем функция T имеет вид T2+Ti+ T0).
Выше (в § 16.11) мы уже встречались с примером натуральной, но неортогональной системы, допускающей разделение переменных; такой системой являлся вращающийся волчок. Выбирая в качестве координат эйлеровы углы и считая функцию V зависящей только от 8 (как это имеет место в обычных условиях, когда волчок движется под действием силы тяжести, а ось Oz направлена вертикально вверх), получаем систему, в которой переменные разделяются. В этой задаче обе координаты ф и i|) являются циклическими, что весьма существенно для вопроса о возможности разделения переменных.
Если исключить только координату г|) и составить функцию Рауса, то получится Ненатуральная система с двумя степенями свободы. Эта система также допускает разделение, если считать, что функция V зависит только от 9. В соответствии с формулой (10.5.12) имеем
R = у А (9*2 + sin2 9 ср2) + ? ср cos 9—7. (18.18.1)
Составим функцию Гамильтона. Определив импульсы по формулам
ре = AQ, P41 = A sin29cp4- ?cos 9, (18.1&.2)
Найдем
Я = 1А (в«+sin* 9 ф2) + V = -L-р% + 2As\n2Q (Рф -? cos 9)2 +7. (18.18.3) Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид
Полный интеграл имеет форму
А" = а2ф + /(в), (18.18.5)
где функция / (9) удовлетворяет уравнению
/' (9)2 = 2А (K1 -V) - (К2~ P 9 ) 2. (18.18.6)
Таким образом, ненатуральная системы (18.18.1) допускает разделение переменных.
Глава XIX
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ, ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
§ 19.1. Дифференциальные уравнения*). В предыдущих главах были установлены некоторые принципы, дающие возможность решать ряд динамических задач или по крайней мере существенно продвинуться в этом направлении. Ряд задач относится к системам, которые обладают определенными свойствами, упрощающими исследование, например свойством разделимости переменных (гл. XVII и XVIII). Настоящая глава посвящена одной общей задаче теории дифференциальных уравнений, имеющей непосредственное отношение к классической механике.
Уравнения движения голономной системы кратко могут быть записаны в следующей векторной форме (6.4.4):
х = X. (19.1.1)
Здесь X = {xi, xz, . . ., хт}, X = {Xi, X2, . . ., Хт} и Xr = ХТ (х±, х2, ... . . ., xm; t). Число т. = 2га, т. е. равно удвоенному числу степеней свободы механической системы. В скалярной форме уравнения имеют вид
х\ = X1., ' г = 1, 2, . . ., тп. (19.1.2)
В задачах динамики система тп зависимых переменных разбивается на га связанных менаду собою пар. В уравнениях Лагранжа ими являются переменные q и to, и уравнения имеют форму (6.4.3):
qr = шг, (ог = фг, г = 1, 2, . . ., п.
В уравнениях Гамильтона такими парами переменных служат q и р (см. (10.3.8)):
qr = дНІдрг, Pt = —dHldqT, г = 1, 2, . . ., п.
Для наших целей в этой и следующей главе подразделение тп перемен-ных на пары не понадобится.
В большей части задач, представляющих практический интерес, функции Хт зависят только от ж и не зависят от t. Системы такого рода называются автономными. Неавтономную систему (19.1.2) с т зависимыми переменными можно рассматривать как автономную систему с т + 1 зависимыми переменными:
Xt = X1. (х±, х2, • •., xm; ^m+i), г = 1, 2, .. ., т, Хщ+і 1 •
Свойства решений системы (19.1.2) определяются свойствами функций X1.; чем больше предположений сделано относительно этих функций, тем больше соображений можно высказать относительно решений. Напомним коротко основные результаты из теории дифференциальных уравнений. Сначала будем предполагать, что все переменные
*) Доказательства теорем этого параграфа можно найти у Коддингтона и Левин-сона [40]. Литература по общей теории нелинейных систем весьма обширна; см., например, [42—46], а также S. Lefschetz, Lectures on Differential Equations (Princeton, 1948); S. Lefshetz (ed.), Contributions to the Theory of Non-linear Oscillations (Princeton, 1950). Пример (19.7.12) принадлежит Суиннертону — Дайеру.
