Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
dS
dar dS dqr dS dt
— ?r,
= Pr, = -H.
284
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
Функция Гамильтона Н, входящая в правую часть равенства (16.1.6), есть известная функция от q, р и t:
H=H (qt, qz, . . ., qn; р1} pz, . . ., рп; t), (16.1.7)
или, короче,
H = H(q; р; t). (16.1.8)
Заменяя в правой части равенства (16.1.6) рг на —, получаем тогда для S следующее дифференциальное уравнение:
§¦ + В(ді,дш, ...,qn;^,^, ...,^-;t)=0, (16-1-9)
или, короче,
Ж+Н («•%¦''*) =0- (16ЛЛ0)
Это есть дифференциальное уравнение Гамильтона. Оно представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка. Главная функция, выраженная через q ш t vt п параметров а, является полным интегралом этого уравнения.
Существует, как известно, множество полных интегралов уравнений в частных производных, и нет гарантии, что найденный нами полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона будет представлять искомую главную функцию. Но тогда возникает вопрос: может ли любой полный интеграл быть полезен для наших целей? Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным, и это обстоятельство составляет сущность теоремы Гамильтона — Якоби.
Мы приведем два доказательства этой теоремы: первое будет основано на непосредственной проверке, а второе — связано с эквивалентностью системы уравнений Гамильтона некоторому уравнению Пфаффа.
§ 16.2. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство первое). Если
S = S (qi, q2, . . ., qn; CC1, ос2, . . ., ас„; і), (16.2.1)
или, короче,
S = S (q; a; t) (16.2.2)
представляет полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных
f-+#(g;f-;j)=0, (16-2.3)
то интегралы гамилътоновых уравнений движения даются соотношениями
= -?r, г= 1,2, п. (16.2.4)
^7 = Pr, г= 1,2, п, (16.2.5)
где через ? обозначены п новых произвольных постоянных. Уравнения (16.2.4) и (16.2.5) определяют q и р как функции от t, зависящие еще от 2п произвольных постоянных аир. Уравнения (16.2.4) дают решение задачи Лагранжа: определяют движение в ^-пространстве. Уравнения же (16.2.4) вместе с (16.2.5) дают решение задачи Гамильтона, т. е. определяют движение в фазовом пространстве.
Полный интеграл есть функция класса C2, содержащая п произвольных постоянных Ct1, ос2, . . ., OCn (а также аддитивную постоянную Oc71+1), причем определитель
та-1- <16-2-6)
5 56.2]
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЕ)
285
элемент г-й строки и s-ro столбца которого равен а^ да , нигде в области изменения q и а не обращается в нуль. Докажем, что функции
qr = дт (а; ?; t), (16.2.7)
pr = рт(а; ?; t), (16.2.8)
определяемые из уравнений (16.2.4), (16.2.5), удовлетворяют уравнениям Гамильтона при произвольных значениях а и ? или, во всяком случае, при их произвольных значениях в некоторой области (а, ?).
Функция S удовлетворяет уравнению (16.2.3) при всех значениях q, a, t в соответствующей области, так что, подставляя в это уравнение полный интеграл и дифференцируя полученное тождество по к], находим
дЗД , Z. d*S тт 1 oS
да, і dt
r=l
(через Нрг здесь обозначена частная производная дН/дрг). Кроме того, уравнение
dS
-?, (16.2.10)
тождественно удовлетворяется, если вместо функций q подставить их значение (16.2.7). Тогда после дифференцирования по t получим
dtdaT + ^-dik;^- <16-2-ii)
T= і '
Символом здесь обозначена скорость, которая ранее обозначалась через
~; это потребовалось в связи с тем, что в данном случае qr, кроме t, зависит
еще от параметров а и ?. Иными словами, мы теперь рассматриваем совокупность траекторий, а не отдельную траекторию. Поскольку S ? C2, имеем
92S = d*S d*S ^ d*S (16 2 12)
даі dt dt да.х ' Sa1 dqr dqr да\ \ • • 1
и из уравнений (16.2.9) и (16.2.11) находим
п
—J dqr да г=1
Всего имеем п таких уравнений, по одному для каждого а. Определитель (16.2.6) из коэффициентов не равен нулю, следовательно,
-^ = Я,г(г; *), г = 1,2, п. (16.2.14)
Подставляя полный интеграл в уравнение (16.2.3) и дифференцируя тождество по qi, находим
Oq1 dt
г= 1
Уравнение
Pi =-^- (16.2.16)
286
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
удовлетворяется тождественно, если вместо Pi vi q подставить их выражения через а, ? и t. Проделав это и продифференцировав результат по t, получим
п
Op1 diS d*S dqr /ід о лп\
dt OtSq1 ^ Zj Qq1-Oq1 dt ' {iv.t.llf
T=I
92S = d^S d*S _^ d*-S iaroaox
Oq1 dt OtOq1* Qq1OqT Oq7Oq1 ' (10.Z.1O)
и с помощью (16.2.15) и (16.2.14) получаем уравнение (16.2.17) в виде
-iH-M*f-")- <16-2-19>
Аналогичным образом получаем п уравнений дрг — -Н (— dS
dt
(q;^-;t), г = 1,2, .... в. (16.2.20)
Уравнения (16.2.14) и (16.2.20) показывают, что функции qT и рг, определяемые соотношениями (16.2.7), (16.2.8), удовлетворяют уравнениям Гамильтона
Чг=-ж, .....»¦ (іо-ад
