Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
при произвольных значениях а и ?, что и доказывает теорему.
Итак, с помощью любого полного интеграла дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных можно получить полное решение задачи Гамильтона, т. е. интегралы гамильтоновых уравнений движения. Дифференциальное уравнение для функции S впервые было получено Гамильтоном в 1834 г., а доказательство всей теоремы было дано Якоби в 1837 г. *).
§ 16.3. Теорема об эквивалентности. Главная функция S,
S = S (tji, q2, ¦ ¦ ., qn; qto, Q20, ¦ • •, ?n0; t) = S (q; qQ; t), (16.3.1) обладает тем свойством (см. (15.5.11)), что
dS = рт dqT — ptq dqro — H dt, (16.3.2)
где через H обозначена функция Гамильтона, заданная как функция от (qlr q2, ¦ ¦ ., qn; P1, p2, ¦ • •, Pn', t). Если в соотношение (16.3.1) вместо qr подставить их значения, выраженные через qr0, рго и t, то получим функцию ар:
S (q; q0; t) = ар (q0; p0; t), (16.3.3)
и уравнение (16.3.2) примет вид
рт dqr — H dt = dop + Pro dqr0. (16.3.4)
Пфаффова форма pr dqr — H dt, выраженная через qrQ, pro и t, представляет собой сумму полного дифференциала dop (где ар = ар (q0; р0; t)) и пфаффовой формы pro dqr0, не содержащей времени.
В более общем случае, определяя траекторию (в фазовом пространстве) значениями 2п подходящих параметров Y4, Yzi • • •? У2п (взятых вместо
*) Дифференциальное уравнение Гамильтона в частных производных, а также частный случай теоремы Гамильтона — Якоби, когда постоянные а и ? имеют смысл начальных значений фазовых координат q и р, встречаются в работе Гамильтона [16], 1834 г. В более общем виде, при большом произволе в выборе параметров а и ?, теорема была доказана Якоби в 1837 г. (Crelle's Journal, XXVII, стр. 97). См. также «Лекции» Якоби [17], стр. 157.
§ 16.3]
ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
287
параметров qr0 и рг0), получаем соотношение
п 2п
2 Prdqr — Hdt = dip+ 2 Ksdys, (16.3.5)
Г-=-1 8=1
в котором^ = ij) (y; t), а функции К зависят лишь от у. 2п величин у являются независимыми функциями от qr0 и рг0 и определяют траекторию точно
2и
так же, как ее определяют параметры дг0 и рг0. Форма 2 K8 dy8 есть не что
S=I
п
иное, как форма 2 Pro dqr0, выраженная в новых параметрах. Этот результат,
г=1
собственно говоря, нами уже был получен в § 15.8, п. 4, когда мы форму
п п
2 .Pr0 dqr0 заменили на форму 2 ?r- dot,r, однако при этом мы ограничивали
г=1 г=1
выбор новых параметров а и ? требованием, чтобы соответствующее преобразование было однородным контактным преобразованием. Здесь же выбор параметров у не стеснен никакими ограничениями. Отметим, что форма
2п п
2 K8 dys, по существу, является не более общей, нежели форма 2 ?r daT,
S=I r=l
поскольку первая из них всегда может быть сведена ко второй с помощью теоремы Пфаффа.
Уравнение Пфаффа (16.3.5) в точности эквивалентно 2п дифференциальным уравнениям Гамильтона. Изучение главной функции показало, что решения уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению (16.3.5); остается доказать обратное, что функции
Чг (У, t), рг (у; t), (16.3.6)
удовлетворяющие соотношению (16.3.5), удовлетворяют также и уравнениям Гамильтона. Однако целесообразней, по-видимому, дать самостоятельное доказательство всей теоремы.
Теорема об эквивалентности. Пусть функции
?r = ?r(Yi> Y2. Y2I.5 0. r=l,2, n, 1 (16 3 7)
Pr = Pr (Уі, Уі, •¦•,.Vinit), r = l,2, га, J
образуют систему 2п функций от у. и t; величины qr, dqrldt, pr, dprldt принадлежат к классу Ci в области А переменных Oy1, у2, ¦ ¦ ., У2П) и в интервале / изменения t, а якобиан
д (gl, ?2. . ¦ Чп, Pl' Р2, ..¦, Pn) /^g з g\
д(Уі, Y2. ¦ • Уіп)
ОТЛИчеН ОТ НуЛЯ ДЛЯ Oy1, 72, • • ., У2п) 6 А и t ?1.
1) Если H (q; р; t) есть заданная функция от 2п + 1 переменных, принадлежащая к классу Ci (в области пространства (q, р), на которую для каждого t из I отображается область А при помощи соотношений (16.3.7)), а переменные q и р при всех у из А тождественно удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dqr _ дН дрг _ дН_ _ , 2 /16 3 9)
то имеет место равенство
Pr dqr — H-dt = dy + K8 dys, (16.3.10)
288
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
где ip = гр ("у; t) ? C2, а коэффициенты K3 зависят только от у. (Повторяющийся индекс г означает суммирование от г = 1 до г = п, а повторяющийся индекс s — суммирование от s = 1 до s = 2п.)
2) Пусть существует функция H (q; р; t) ? C1 такая, что пфаффова форма рТ dqr — H dt, записанная в переменных у, t, имеет вид dip + K3 ays, где op = op (у; t) ? C2, а функции K3 зависят только от у. Тогда функции qr, Pt тождественно удовлетворяют дифференциальным уравнениям
при всех у из области А.
Доказательство первое (прямая теорема). Запишем форму Pt dqr — H dt в переменных у, t в виде U dt + U3 dy3, где
U = pT^—H, (16.3.11)
U3 = PrAjI-, 5=1,2, In (16.3.12)
(здесь, как и раньше, знак суммы для краткости опущен). Докажем, что
ArA (16.3.13)
Из соотношения (16.3.11) получаем
