Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
п т т
_j (Prfyr -f Prbqr) — S (pr6qr+qrt]pr)=8(L— 2 PrQr). (15.3.1)
r=l r=l r=l
m
Обозначим через R функцию (L — 2 PrQr), в которой т первых скоростей
г=1
?ii <7г> • • • Qm заменены на импульсы P1, р2, . ¦ ., рт. Тогда уравнения движения запишутся в виде
dR • dR . „ _ 0 „ч
9г=-Ж' Рг = Ж~' г=1,2, .... т, (15.3.2)
pr=AL, Рт = А—у г = т+1, т + 2, ...,п. (15.3.3)
°9r dqr
Первые т пар уравнений движения здесь имеют гамильтонову форму (роль функции H играет функция —R), а остальные п — т пар — лагранжеву форму (роль функции L играет функция R). Чтобы построить функцию R,
272
ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. XV
нужно решить т линейных уравнений
Рг = ~, г = 1,2, ...,т,
ддг
ОТНОСИТеЛЬНО Qi, С/21 • • ч <7т> ВЫраЗИВ ПОСЛЄДНИЄ Через Pi1 pz, . . м Ртч
gm+i, Qm+2, ¦ ¦ Чп и Я, а также, возможно, t.
Наиболее важным является случай, рассмотренный Раусом, когда первые т координат являются циклическими (см. § 10.1). В этом случае первые т импульсов pi, р2, - . ., Pm в процессе движения остаются постоянными и функция R играет роль функции Лагранжа для системы с п — т степенями свободы, описываемой координатами gm+i, gm+2, ¦ ¦ дп- Некоторые приложения были рассмотрены в § 10.1 и последующих.
§ 15.4. Теорема: -^r(prf>Qr) = OZ. Уравнение (15.1.4) допускает иное
истолкование, отличающееся от данного выше. Будем судить о движении системы по движению изображающей точки в пространстве п измерений с координатами gi, q2, . . ., дп. Начнем с описания истинной траектории системы, т. е. траектории в д -пространстве, удовлетворяющей уравнениям движения. В каждый момент времени рассмотрим вариацию, соответствующую переходу от точки ди д2, . . ., дп к тонке qt -f- Og1, q2 + 8д2, ...,?» + Ogn. Варьированная траектория в общем случае не является истинной траекторией системы, т. е. не удовлетворяет уравнениям движения. Геометрически она, конечно, возможна, поскольку рассматриваемая система голономна. Вариации при этом произвольны и подчинены лишь одному условию, что каждая из вариаций 8дг есть функция от t класса C2. Поскольку вариации синхронны, можем (опуская знак суммирования) написать
ogr = -^ogr, 7-=1,2, ...,п. (15.4.1)
Тогда уравнение (15.1.4) примет вид
-^¦(pr8gr) = 8L. (15.4.2)
Скорость изменения скалярного произведения pr8gr равна вариации L, обусловленной синхронным варьированием oq и 6q.
Воспользуемся теперь уравнением (15.4.2) для вывода принципа Гамильтона. Правда, этот вывод, в отличие от приведенного в § 3.7, будет справедлив только для голономных консервативных систем. Имеем
ti
j 8Ldt = prl8gTi — Pro8gro, (15.4.3)
(о
где через C7r0, Pro обозначены величины дГ, рг в момент t0, а через qri, pri — те же величины в момент ti. Если в моменты t0 и ti вариация бд обращается в нуль, то
h
J oLdt^O, (15.4.4)
to
что и выражает принцип Гамильтона.
§ 15.4]
teoeema: d lpr oqT) = OL
273
Уравнения (15.4.3), (15.4.4) можно записать еще в следующей форме:
«і
б J Ldt = Prfiqn — Pro&qro, (15.4.5) ti
б J Ldt = 0, (15.4.6)
причем исходный интеграл здесь берется вдоль дуги действительной траектории в ^-пространстве (т. е. вдоль пути, удовлетворяющего уравнениям движения), а варьированный интеграл — вдоль допустимого пути, построенного так, как указывалось выше. Как уже отмечалось, этот путь, вообще говоря, не является действительной траекторией.
Уравнение (15.4.2) справедливо для произвольного варьированного пути, требуется только, чтобы соответствующие точки исходного и нового путей относились к одному и тому же моменту времени и чтобы каждое б<?> 6 C2; при этом новый путь вовсе не обязан быть действительной траекторией.
Наложим теперь дальнейшее ограничение и потребуем, чтобы варьированный путь являлся действительной траекторией, соответствующей слегка изменившимся начальным условиям. Оператор б будет теперь означать переход к точке на соседней действительной траектории, соответствующей тому же моменту времени.
Рассмотрим сначала случай, когда L не содержит t, так что при заданных начальных
значениях q и q мы получаем одну и ту же траекторию независимо от начального момента времени, и положение на траектории зависит только от промежутка времени, прошедшего с момента старта. Обозначим теперь через б вариацию, соответствующую переходу из одного положения на одной и той же траектории к другому после небольшого постоянного интервала времени т. Варьируемым путем будет при этом та же исходная траектория, но точки ее будут проходиться на т секунд раньше, чем точки действительной траектории. При этих условиях
dL
o?r = t?r, ogv = t?r, 6L = T-^t-, (15.4.7)
и из уравнения (15.4.2) получаем интеграл Якоби (§ 6 7):
-^-(M'r-L)=0. (15.4.8)
Рассмотрим теперь траектории, начинающиеся в момент t = О из точек замккутой кривой у0 gr-пространства. Скорости будем считать изменяющимися непрерывно при переходе от одной точки кривой к другой. Спустя время t изображающие точки составят другую замкнутую кривую у. Для двух соседних траекторий будем иметь
