Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(о
Последний результат должен быть выражен через х0, хх. Выполняя элементарное интегрирование, получаем
S = у п (Xl+Xl) ctg п (ti -10) - . (15.9.7}
Этот результат верен при условии, что п (?4 — t0) не кратно л. Как мы знаем (§ 15.6,-п. 2), в этом исключительном случае функции S не существует, если только не выполняется дополнительное условие Xi = (—1)г х0 (в противном случае 5 = 0, ибо, согласно известной теореме, для любого целого числа полупериодов гармонического осциллятора-1 = ~V).
Легко проверить, что соотношения (15.8.1), (15.8.2) дают интегралы уравнений движения Гамильтона. Например,
-^ = ^ = nx0agn(ti-t0)- ^™1^ , (15.9.8)
что эквивалентно соотношению между * и х, с которого мы начинали.
282
ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. XV
3) Рассмотрим простой пример, в котором функция L явно зависит от t, так что S зависит от t0 и а не только от их разности — t0. Рассмотрим частицу, совершающую движение по прямой в силовом поле, равномерно усиливающемся со временем. Конкретным примером может служить движение магнитной массы в переменном магнитном поле. Потенциал на единицу массы такого поля равен —Atx, где А = const. Имеем
--At, (15.9.9)
_1_ ~2
і = и0 + ±А(Р-4), (15.9.10)
х = х0 + и0(і-і0) + ^А (t-t0)*(t + 2t0). (15.9.11)
Теперь можно выразить
2
1 •
L = —X*+Atx (15.9.12)
как функцию от t. Вычисляя интеграл ^ L dt и выражая затем щ через х0, получаем •следующее выражение для главной функции:
5 = Sin!) +iА {h ~to) {xi {2h+to)+х°{h+2t°)} ~
~шАЧк~ к)3 (4i?+ltito+4г§) • (15-9-13)
Мы снова можем легко убедиться в том,-что функция S обладает всеми указанными ранее •свойствами.
4) Периодические траектории. Составим функцию S для замкнутой периодической траектории. Для гармонического осциллятора 5 = 0, что и следовало •ожидать, так как здесь мы имеем исключительный случай, когда величина а постоянна, имеет одно и то же значение для всех периодических траекторий.
Для ньютоновской эллиптической орбиты имеем
*=-?, c=2k/Z, f=jl, 7ss_e. (15.9л4)
Здесь 2а — большая ось эллипса, a T и V — средние по времени значения T и V. Следовательно, для замкнутой орбиты
S = (T- V) 0 = ?-g = -| (2Kn)2Z3g1/3. (15.9.15)
Уравнение (15.8.21) в этом случае легко проверить; в самом деле,
{Формулы (15.9.14) для средних значений T и V можно получить многими способами. Докажем лишь одну из них, другая может быть тогда получена из уравнения T + V = h. Выразим г и t через эксцентрический угол ц>:
г = а-(1 — е cos ф), nt = ф — е sin ф (п = 2п/а). Отсюда получаем
2л
в J \ г J па J а т а
о о
что и требовалось доказать.)
Глава XVI ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ
§ 16.1. Уравнение Гамильтона в частных производных. Как уже отмечалось в § 15.8, главная функция играла бы весьма важную роль в исследовании динамических систем, если бы мы могли построить ее без предварительного определения интегралов уравнений движения. В этой главе мы укажем метод, с помощью которого можно построить если не функцию S, то цо крайней мере другие функции, полезные для описания движения системы.
Без потери общности можно всюду в дальнейшем считать J0 = 0. В случае, когда L не зависит от J, a S зависит от разности J1 — J0, это очевидно. Но это верно и в общем случае, когда L зависит явно от J, так как при произвольно взятой начальной точке в (/-пространстве предположение J0 = 0 не ограничивает совокупности всех возможных движений.
Мы допустим большую свободу в выборе параметров, определяющих траекторию системы (§ 15.8, п. 4). Вместо начальных значений координат и импульсов (qr0, prQ) мы в качестве параметров, определяющих траекторию в фазовом пространстве, возьмем (ar, ?r). Эти величины являются функциями от qr0, Pr0 с непрерывными первыми производными, однако они не произвольны и должны (см. § 15.8) удовлетворять условию
?r dar = Pr0 dqro. (16.1.1)
Когда мы вводили впервые понятие о главной функции, мы траекторию определяли начальной и конечной координатами и моментами времени J0 и J1. Теперь мы станем на другую точку зрения и будем считать, что траектория определяется величинами a, grl и J1 (J0 равно нулю), а функцию S будем выражать через эти 2п + 1 переменных (см. § 15.8, п. 4). Опустим для удобства индекс 1 в обозначениях координат конечной точки, а также в символах J1 и Hi и будем теперь конечную точку определять координатами ^g1, q2, ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ •> <7ті> Pii Pz-, • • •> Рп), а время достижения ее будем обозначать просто через J. Таким образом,
S = S (qit q2: . . ., qn; аи а2, . . ., ап; J) (16.1.2)
и
dS = Pr dqr — ?r dar — H dt (16.1.3)
(знак суммы для краткости записи опущен). Отсюда получаем
г== 1,2, п, (16.1.4)
r=l,2, . . ., п, (16.1.5)
(16.1.6)
Как уже отмечалось, п уравнений (16.1.4) дают решение задачи Лагранжа, так как с их помощью можно выразить каждое qr через J1 а и ?, а 2п уравнений (16.1.4) и (16.1.5) дают решение задачи Гамильтона, так как с их помощью мон^но выразить qT и рт через J, а и ?.
