Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
-——Mv2 4680 0
15
4680 70 304
)Mv20 =
---Mv2
3163 680 0
(14.11.11)
(14.11.12)
Пример 14.11В. Двенадцать одинаковых однородных стержней, массы M каждый, шарнирно соединены своими концами друг с другом так, что образуют пространственную ферму. В начальный момент эта ферма имеет кубическую форму и находится в покое, причем одна вершина О куба закреплена. Система приводится в движение импульсом, приложенным к противоположной вершине D; составляющие этого импульса по направлениям ребер куба обозначим через X, У, Z. Определить движение этой фермы после приложения импульса и вычислить сообщенную ей энергию.
Воспользуемся теоремой о суперпозиции (§ 14.6) и рассмотрим сначала влияние одной лишь составляющей X. Имеем (рис. 46)
T = ^M {Iu2 + 1и\ + 9 (u2 + u3)2}. (14.11.13)
Из условия, что 8T = Xb (и2 + u3), находим
u2 = U3 = ЗХ/(25М). (14.11.14)
Для остальных составляющих получаем аналогичные
v3 = Vi = 3Y/(25M), 1 w1 = w2 = ZZl(ZbM).}
Сообщенная энергия равна і {X (u2 + u3)+ Y (v3 + v1)+ Z (w1 + w2)} = 3 (X2 + Y2+Z2)/(25M). (14.11.16)
Пример 14.HC Ромб массы М, образованный четырьмя шарнирно соединенными одинаковыми стержнями AB, ВС, CD, DA длиной 2а каждый, движется как твердое тело в направлении диагонали AC со скоростью и. Угол ромба при вершине А равен 2а. Внезапно к точке А присоединяется частица массы тп, первоначально находившаяся в покое. Доказать, что каждый стержень придет во вращение с угловой скоростью
со = 3 тпи sin а/(2ах),
а потерянная при этом кинетическая энергия будет равна у Мтпи2Ы, где
к = М + тп(1+3 sin2a).
Обозначим скорость центра тяжести G фермы непосредственно после приложения импульса через v. Тогда кинетическая энергия системы запишется
262
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
в виде
Отсюда получаем
= 1Му2 + уМа2ю2+тт(і;—2acosina)2. (14.11,17)
3{ = TM(i;-ji)2+TMa2co2 + Tm((V-2acosina)2. (14.11.18)
(Угловая скорость каждого стержня, а также скорость массы т в момент Z1 — 0 по условию равны нулю.) Из условия (14.8.13), 69? = 0, находим
M (v — и) + т (v — 2асо sin a) = 0, (14.11.19)
-|- Ма2со — 2та sin a\v — 2асо sin а) = 0. (14.11.20)
Уравнение (14.11.19) выражает сохранение количества движения. Из уравнений (14.11.19), (14.11.20) получаем
2аш V— 2аш sin a v— и
Ът sin a M —т
—_U___-_— JL Cl 4 11 211I
M + 3msm2a Л/"+m (1+3 sin2 а) к '
Отсюда
со = Ъти sin а/(2ах). (14.11.22)
По теореме Карно находим, что потеря кинетической энергии равна значению функции 9? при v и со-, соответствующих моменту Z1 + 0:
(931
du
= - у Mu(V-U) = ^ МтиЧх. (14.11.23)
Пример 14.11D. Рассмотрим систему, кинетическая энергия которой, выраженная через Co1,. со2, . . ., ?0?, содержит лишь квадратичные члены:
ft
Г-=у2а'Я. (14.11.24)
г=1
Предположим, что система приводится в движение импульсом и что Q,. = = Qr0 при г -? J и Q= 0 при г > Определим движение системы после приложения импульсов и сообщенную ей энергию. Затем рассмотрим ту же систему в случае, когда на нее наложены конечные связи, выражаемые уравнением
Cb1CO1 + Ь2со2 + . . . + bka>k = 0, (14.11.25)
и сравним энергии 1) при одинаковых импульсах и 2) при одинаковых j первых скоростях.
Хотя в данном примере рассматриваются конечные связи, наложенные на систему до момента приложения импульсов, однако результаты будут такие же, как в случае, когда импульсивная связь накладывается одновременно с импульсами (см. § 17.4, п. 4).
« 14.11]
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УДАРА
263
В случае отсутствия импульсивных связей
3
ОТ = 2 &г8сог.
t=i
Поэтому, если приобретенная скорость системы равна Cc1, а2, . . ., ак, то ar ,= ArQr0 (г < J); ат = 0 (г > /). (14.11.26)
Кинетическая энергия системы равна
Го = т 2 a^o=y Ii^t' (14.11.27)
r=l r=i
Рассмотрим теперь систему, на которую наложена связь.
1) Если импульсы не изменяются, то
со, = AjQn + ХАГЪТ (г < /); сог = %АТЪТ (г > /). (14.11.28) Параметр Я определяется из условия (14.11.25):
І h
2 ArbrQro+Ь 2 Arbl = 0. (14.11.29)
Г=1 t=i
Сообщенная энергия в этом случае равна і і
T1 =\2 Qro«>«-=»y 2 &г0{адт0+ыгЪг) =
г=1 г=1
І І h
4S^-T (2 ^AQro)7(2 AJr)-T0-B, (14.11.30)
r=l r=l r=l
где
І h
^=1-(2^)7(2^)* (14.11.31)
r=l r=l
2) Если система приводится в движение другой системой импульсов ?2 такой, что Qr = 0 при г > }, и если импульсы таковы, что сог = аг при г ^ то
ccr = ArQr + Ы,ЬГ (г < )); cor = МГЬГ (г > /). (14.11.32) Кинетическая энергия в этом случае равна
Г2 = т2 Й'-а'- = т(2 «?Мг)-уЯ2 &г«г, (14.11.33)
и так как
то
г=1 г=1 г=1
3 h
1 ,,.4.1
^=4(2 а*М')+T ( 2 <°^г), (14.11.34)
r=l r=j+l
fe k
Kjbrar=- 2 ©?/4-=-Я* ( 2 Arbr). (14.11.35)
г=1 r=j+l г=}+і
Отсюда определяем Я:
з k
*=-(2 Ьг«т)/( 2 ЛЬ?)- (14.11.36)
r=l r=j+і
264
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
Таким образом,
Г2 = т(2 а?/Л)+|(2 Мг)7( S Atf)= T0 +К, (14.11.37)
