Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если искомая функция зависит только от одной независимой переменной (у = /(*)), то дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет эта функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Такие уравнения мы изучали в курсе анализа.
Если же искомая функция зависит от двух или большего числа независимых переменных (например, z = f(x, у)), то дифференциальное уравнение содержит, кроме самой неизвестной
в частных производных.
В этой главе мы рассмотрим несколько физических задач, которые приводят к уравнениям в частных производных.
§ 1. Уравнение колебания струны
функции, также ее частные производные по х и у
, и т. д.). Такое уравнение называется уравнением
Рассмотрим струну, т. е. тонкую натянутую нить (для определенности расположим ее вдоль оси Ох). Будем считать ее
186
Часть III
однородной (линейная плотность равна Г), упругой, туго натянутой. Кроме того, будем считать, что ее отклонения очень малы; иными словами, мы будем рассматривать только малые ко-.лебания струны. Чтобы придать этому термину точный математический смысл, условимся считать угловой коэффициент струны в любой момент времени столь малым, что его квадратом можно пренебречь, когда он стоит в качестве слагаемого рядом с единицей (коротко это выражают словами: квадрат углового коэффициента ничтожно мал по сравнению с единицей).
Условимся, кроме того, рассматривать только плоские поперечные колебания струны, т. е. такие колебания, при которых струна все время остается в одной плоскости (назовем ее плоскостью Охи) и каждая точка струны перемещается только по перпендикуляру к оси Ох. Это значит, что точка струны, имеющая в положении равновесия абсциссу х, сохраняет ту же абсциссу в процессе колебания; ордината же этой точки и изменяется с течением времени; таким образом, она зависит от t (а также, разумеется, от х: законы колебания различных точек струны, вообще говоря, различны). Для того чтобы описать математически закон колебания струны, надо найти эту зависимость и от х и /, т. е. найти функцию двух переменных и = и(х, t). Зная эту функцию, мы сможем найти положение любой точки х в любой момент времени t. Зная эту функцию, мы сможем найти форму, которую принимает струна в любой момент времени t = t0 (для этого достаточно в функции и = и(х, t) закрепить t = t0, тогда получится функция одного переменного и = и[х, t0), графиком которой служит струна в момент t0). Наконец, зная функцию и = и (х, t), мы можем определить закон колебания каждой конкретной точки (с абсциссой X0): и = и (х0, t).
Для того чтобы найти функцию и = и (х, t), составим дифференциальное уравнение, которому эта функция удовлетворяет.
Рассмотрим некоторую точку струны с абсциссой х и другую, близкую к ней, точку jc + Ajc (рис. 60). Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на малый участок струны, равнс по величине и по направлению вектору ускорения этого участка, умноженному на его массу. Рассчитаем все силы, действующие на участок AB. Это, прежде всего, силы натяжения, действующие на концах этого участка, и направленные по касательным к дуге в соответствующих точках. Они равны друг другу по своей численной величине, что вытекает из малости колебаний и из того, что равнодействующая этих сил вызывает только вертикальные перемещения и, следовательно, сама на-
Глава I, § I
187
правлена по вертикали*. Обозначая численную величину силы натяжения в любой точке через 7\ а углы наклона касательной к оси абсцисс в точках А и В— через Ot1 и а2, получим, что вертикальная составляющая сил натяжения равна
Tsina2 — Tsina1.
Кроме сил натяжения, на струну могут действовать и другие силы (например, вес струны). Равнодействующая всех сил, приложенных к какому-либо участку струны и отличных от сил
Рис. 60
натяжения, называется внешней силой на этом участке. Обозначим через <р(х, t) тот предел, к которому стремится отношение внешней силы, действующей на участок AB, к массе этого участка (при Ajc 0). Эта величина называется плотностью внешней силы; она может зависеть и от точки х, и от момента времени t. Если плотность внешней силы известна, то вся внешняя сила, дей-
* Докажем, что из этого вытекает численное равенство сил натяжения в точках А и В; пусть сила натяжения равна T1 в точке А и T2 — в точке В. Если углы наклона касательной к оси абсцисс в этих точках равны, соответственно , «х и о2, то из равенства нулю горизонтальной составляющей следует, что
T1 cos Oj — T2 cos о2 = 0;
Ti _ cos Q2 _ л f\ -f tg«ar Tt COS O1 V I 4- tgao2
Отбрасывая квадраты угловых коэффициентов, являющиеся слагаемыми при единице, получаем:
188
Часть III
ствующая на малый участок AB, равна ф(х, /)-Г*Дх*, где Г — линейная плотность струны (в силу однородности струны Г постоянна). Так как, по условию, каждая точка струны может двигаться только по вертикали, то и внешнюю силу мы должны считать направленной по вертикали. Обозначая, для краткости, равнодействующую всех сил, приложенных к участку AB (т. е. сил натяжения и внешней силы) через Fab , получим
