Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
48
Часть I
Выведем так называемую формулу Стокса, которая позволяет свести вычисление циркуляции векторного поля А = == P (х, у,_ z) і -f- Q(x, у, z)j + R (х, у, z)k по пространственному
контуру Z к вычислению интеграла по поверхности St натянутой на этот контур.
Предположим, что контур Z натянут на поверхность, уравнение которой может быть записано следующим образом:
z = f(x, у). Обозначим эту поверхность через St а ее проекцию на плоскость Oxy — через а. Очевидно, границей области а служит замкнутая кривая X, получающаяся при проектировании кривой Z на плоскость Oxy (рис. 26). Выберем определенное направление обхода контура и проведем нормаль п в какой-либо точке поверхности, причем направим эту нормаль в ту сторону, откуда обход контура Z кажется совершающимся против часовой стрелки*. Если выбрать направление обхода контура так, как указано на рис. 26, то при проектировании на плоскость Oxy обход по контуру X будет происходить в положительном направлении (т. е. при обходе по контуру X область а будет оставаться слева от контура). _
Пусть А = P J -f- Q/+ Rk — векторное поле, заданное во всех точках поверхности S. Будем считать, что Pt Qt R — непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка. Для того чтобы вычислить циркуляцию векторного поля А вдоль контура It надо вычислить три криволинейных интеграла:
Adl ~ ^ Pdx-1- Qdy + Rdz = J Pdx -}- J Qdy -f- JRdz. ї ї і і і
Рассмотрим, например, первый из этих интегралов; для этого разобьем контур / на т малых дуг AZ1, AZ2,..., AIm и представим наш интеграл как предел интегральной суммы:
Рис. 26
* Мы говорим в этом случае, что направление нормали п согласовано с направлением обхода контура I.
§м
49
т
=lim ? p(xk> yk> f(xk> yk))bxk- (3)
a^0 k=\
После замены zk на f{xk, yk), под знаком предела оказалась интегральная сумма для функции двух переменных
Р(х, У, f(x, у)).
При этом точка (х, у) пробегает контур X (когда точка в пространстве (х, у, z) пробегает контур /). Предел интегральной суммы равен криволинейному интегралу от этой функции двух переменных по контуру X:
т
Следовательно, в силу равенства (3), .
§ Р(х, у, z)dx = § Р(х, у, f(x, y))dx. (4)
I X
Применим к интегралу по плоскому контуру X формулу Грина-Остроградского (см. (1)):
Ip (х, У, f (х, у) dx = — JJ дР [х’ у^-(х’ у)] d а. (5)
X а
Производная, стоящая под знаком интеграла, является полной производной. При ее вычислении следует учитывать не только то, что P непосредственно зависит от у, HO и то, что P зависит от у через посредство Z (где Z = f(x, у). Поэтому по формуле для полной производной имеем:
дР[х, у, f(x, у)J дР(х, у, z) . дР(х, у, г)
ду ~ ду "*¦ дг у' w
Заметим, что производная фигурирующая в правой части этого
равенства, берется только по у, входящему явно (т. е. при вычислении этой производной мы не принимаем во внимание зави-
50
Часть /
симость P от у через посредство z). Итак, учитывая (4), (5) » (6), получим:
JР(х, у, г)dx = — JJ+ l?'zv]da-
I a ^
Перейдем теперь от интеграла по области а к интегралу по поверхности 5. Для этого воспользуемся формулой (4) из § 4:
= “ JJ Ш + ^*у ] cos 7dS =
=ш-
дР дР .
-Cost--^cost
] dS.
Учитывая (см. формулу (2) из § 4 и сноску к этой формуле), что
1 - г.
Vі+(z*)*+(z^)*
COSp
получим: Cosp = —z'y -cosт. Поэтому, заменяя в последнем интеграле — zy cos 7 на cos р, будем иметь:
Hpdx = JJ [- Wcos 7 + Ifcos р]dS-
(T)
Это равенство выведено нами в предположении, что поверхность пересекается каждой вертикальной прямой не более, чем в одной точке. Однако оно остается в силе и для любой поверхности, разбиваемой на конечное число поверхностей указанного вида.
Действительно, пусть, например, S разбивается на поверхности S1 и S2 линией I0, причем поверхности S1 и S2 пересекаются каждой вертикальной прямой только в одной точке (CM. рис. 27). Обозначим через I весь контур поверхности^, а через I1 и I2 —
іїаІаНашіЩі
§" 51
те части /, которые примыкают, соответственно, к S1 и S2. Тогда получим: .
IPdx=JJ [“ ^cosі+^cos р]dS-
Ifi-Io Si
J Pdx = JJ["W cos1 + ^cos4dS~
Направление обхода показано стрелками на рисунке.
При почленном сложении этих равенств криволинейные интегралы по I0 взаимно уничтожаются (так как интегралы по I0 берутся в противоположных направлениях); интегралы по I1 и по I2 в сумме дадут интеграл по всему контуру /. Поэтому
lPdx= JJ I-Ifcosт+-§cos P ]dS- <7)
і s
Итак, формула (7) справедлива для любой поверхности.
Аналогично этому можно вывести формулы, позволяющие
свести J Qdy и j Rdz к поверхностным интегралам:
J Qdy = JJ [-1? cos “+ I? cos ’< ]dS’ (8)
IS
J №=JJt-^cosP+If cosaJds- <9>
I S
Почленно складывая равенства (7), (8), (9), получим формулу Стокса:
+ + = JJ{[-*?--|e]cos« +
I S
+ [ж - HjcosP+ ['S- W]cosTlds- (1°)
Заметим, что формула Грина-Остроградского действительно является частным случаем этой формулы: она получается из формулы Стокса, если область является плоской областью, расположенной в плоскости Оху. В этом случае J Rdz ~ 0, cos а=О,
