Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение рассмотрим один важный пример соленоидаль-ного поля.
Жидкость называется несжимаемой, если объем, занимаемый каким-либо количеством жидкости, не изменяется при перемещении этого количества жидкости. Иными словами, однородная жидкость несжимаема, если ее плотность не изменяется с течением времени.
Всякая реальная жидкость (например, вода) практически несжимаема (конечно, при условии сохранения постоянной температуры и при небольших давлениях).
Рассмотрим теперь стационарное движение несжимаемой жидкости и докажем, что поле скоростей в этом случае соленоидально. Для доказательства возьмем произвольную замкнутую поверхйость S, расположенную в этом поле. В силу условия не- % сжимаемости, количество жидкости, поступающей внутрь поверхности S за единицу времени, равно количеству жидкости, удаляющейся за то же время из области, ограниченной этой поверхностью. Следовательно, поток через произвольную замкнутую поверхность в этом поле равен нулю, а это означает, что дивергенция поля равна нулю во всех точках.
Итак, стационарное поле скоростей движущейся несжимаемой жидкости является соленоидальным полем.
§ 10. Циркуляция векторного поля по контуру
Рассмотрим векторное поле A = Pi Qj -f- Rk и замкнутый контур I, расположенный в этом поле. Криволинейный интеграл j Pdx -f- Qdy + Rdz называется циркуляцией векторного поля А по
контуру /.
Разумеется, циркуляция зависит не только от Л и /, но и от направления обхода, принятого на контуре /: изменив направление обхода, мы изменим и знак циркуляции.
Напомним известное из курса анализа определение криволинейного интеграла: разбивая кривую I на элементарные дуги AI1, Al2,..., AIn (дуги следуют друг за другом в направлении обхода кривой /), выбираем на каждой из них произвольным
42
Часть T
образом по точке: Af1, M2,________ Mn (рис. 22). Затем образуем
следующую сумму, которую назовем интегральной суммой:
я
2 (я (ль) «*);
A=I
здесь Л (МЛ) — значение вектора поля в точке Mk, AZfe — вектор, геометрически совпадающий с хордой, соединяющей концы дуги Alk, причем направление этого вектора совпадает с выбран-нцм направлением - вдоль кривой /. Предел построенной интегральной Рис. 22 суммы при max Д/А -> 0 называется
криволинейным интегралом от функций Р, Qy R по кривой /, или интегралом векторного поля А по кривой L Этот предел обозначается J Pdx-\-Qdy -J- Rdzt или
^Adl. Таким образом,
п
f MT = Iim
I max Л ^-*-0 Л=1
Если I является замкнутой кривой, то J Adi называется циркуляцией векторного поля А по контуру /.
Циркуляция векторного поля по контуру имеет простой физический смысл. Пусть векторное поле А является силовым полем, и в этом силовом поле движется точка M по контуру U Вычислим работу, совершаемую точкой M при ее движении. Для этого прежде всего заметим, что вся работа составляется как сумма элементарных работ A T1, AT12,..., A Tn, совершаемых при перемещении вдоль элементарных дуг AZ1, AZ2,..., AIn. Каждую же элементарную работу нетрудно вычислить, считая приближенно отрезок AIk прямолинейным, а силу вдоль этого отрезка постоянной и равной ее значению в точке Mk. Тогда
ATk^\A(Mk)\. Ii^I-Cosp(M4), Д/*) = [A (MJ-Uk).
Следовательно, вся работа может быть вычислена с помощью следующего приближенного равенства:
A=I k= 1
§ 10
43
Это равенство будет тем точнее, чем меньше элементарные дуги ДIk. При Д/Л->0 оно переходит в точное равенство:
П
Т. е.
T= Iim YiWJ-K).
k~Q
T == J AdT.
Итак, если А — силовое поле, то циркуляция поля по контуру I равна работе, совершаемой при перемещении точки в этом силовом поле вдоль контура /.
В анализе дается следующий метод вычисления криволинейного интеграла f Pdx -f- Qdy -f- Rdz: пусть кривая I задана па-
I
раметрическими уравнениями: х = <р (f)\ y = ty (t)\ z = x (0» гДе t0<t<T; если направление обхода по кривой / соответствует возрастанию параметра от t0 до Т, то
j Pdx + Qdy+Rdz=
і
= ] (Pt? <0. if), х(?)I •?'(<) +Q [?(0. <t (0, x <01 • f (0 +
+ Я[ф(0. ф(0. xm'x'(t)}dt.
(I)
Если кривая I — замкнутая, то криволинейный интеграл от Pdx + Qdy 4- Rdz является циркуляцией векторного поля A =
=Pi Qj -f- Rk вдоль контура / и тогда формулу (1) можно рассматривать как фіормулу для вычисления циркуляции.
Пример. Рассмотрим твердое тело, вращающееся с постоянной угловой скоростью О) вокруг некоторой оси, например вокруг оси Oz (рис. 23).
Скорость А каждой [точки вращающегося тела зависит от положения этой точки. Исследуем векторное поле скоростей.
Обозначим через <о — вектор, численно равный угловой скорости ю и направленный по оси вращения в ту сторону, откуда
44
Часть /
вращение кажется совершающимся против часовой стрелки. Тогда со = ш • Aj. Вектор скорости А в любой точке М(х, у, г) перпендикулярен к о» и к вектору R — R0, где R — радиус-вектор точки, R0 — радиус-вектор центра окружности, по которой происходит вращение точки М\ вектор Л численно равен ш • | R — |-
Следовательно* вектор А равен векторному произведению векторов ы и R-R0:
