Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Изменения импульса и спина черной дыры, описываемые этими уравнениями, значительно превосходят неопределенности APtK A J1 (8.5.3):
связанные с изменением E1. и Bij. Поэтому указанные эффекты негеоде-зичности движения вращающейся черной дыры и прецессии ее углового момента в принципе могут наблюдаться.
Следует подчеркнуть, что уравнения (8.5.5) и (8.5.6) совпадают по форме с уравнениями движения пробных вращающихся частиц во внешнем гравитационном поле. Существенным моментом является то, что учет экстремально сильного гравитационного самодействия, присущего черной дыре, не изменяет вида этих уравнений и с точки зрения удаленного наблюдателя она движется во внешнем поле так же, как малое пробное тело.
ввести координаты t, х, в которых метрика записывается в виде
(8.5.5)
(8.5.6)
(8.5.7)
AJi-M2EiiJ',
176
Аналогичным образом можно показать [Бичак (1980)], что при действии на черную дыру с зарядом Q и массой M внешнего электрического поля E она приобретает ускорение a = QE/M *). Интересно отметить, что Эрнст (1976b) получил точное решение уравнений Эйнштейна—Максвелла, описывающее движение заряженной черной дыры в однородном электрическом ноле. Соответствующая метрика в запаздывающих координатах имеет вид
ds2 = B2^-Hdu2 — 2du dr - 2wr2du dx + r2G~ldx2) +
+ B'2r2G dz2, (8.5.8)
где
B= I + QE0X + - Elir2 G + Q2X2),
4
G = I - .V2 - IMwxi - Q2W2Xi, (8.5.9)
, , ,
H=-w2rG + wr ---------+ I + bMwx + 60w X —
dx
— 2(M + 2Q2wx)r~' +Q2r~2.
Здесь w — ускорение черной дыры, a E0 — напряженность внешнего электрического поля. При выполнении условия QE0 =Mw узловые сингулярности, присущие метрике (8.5.8) в общем случае, отсутствуют. Отметим, что отсутствие явной зависимости от времени метрики, описывающей ускоренное движение тела, связано с соответствующим выбором координат. Аналогичным свойством обладает метрика плоского пространства в координатах Риндлера, связанных с равноускоренным движением наблюдателей.
Метод сшивания асимптотических разложений (см. выше) позволяет также исследовать взаимодействие двух черных дыр. В случае, если расстояние между ними значительно превосходит их гравитационные радиусы, а сами дыры движутся друг относительно друга со скоростью, много меньшей скорости света, уравнения движения взаимодействующих черных дыр были получены Д’Эсом (1975b, 1979) [см. также Торн, Хартль (1985)]. Гравитационное поле вблизи каждой из черных дыр описывается возмущенной метрикой Керра, а вдали от черных дыр метрика находится с помощью постньютоновского приближения до нужного порядка точности. Сшивание этих разложений приводит к следующей системе уравнений для движения одной из черных дыр и прецессии ее углового момента в поле другой черной дыры:
W1 —р =F/0 +F,(2) + 0(e4), (8.5.10а)
— = [(Л,(1) + Й,(2) + i1(3))X/,]. (8.5.10b)
dt
Здесь и далее используются обозначения: Xi — положение и V,- — скорость
*)Об эффектах, связанных с действием на черную дыру электромагнитного -доля, см. также Гальцов и др. (1984*).
12. И.Д. Новиков
177
г'-й черной дыры, обладающей массой Mi и угловым моментом Гц = = X1 — ДСЬ V2I =V2 -V1 — положение и скорость второй черной дыры по отношению к первой; r=|r21j, n = r2l/r, Ji = 1//1 и = Ji/Ji - величина и единичный вектор направления углового момента /-й черной дыры. Параметр малости є равен отношению максимального из гравитационных радиусов к характерному расстоянию между черными дырами. F1*1* -значение силы, найденное Эйнштейном, Инфельдом, Гофманом (1938), отвечающей геодезическому закону движения одного тела в гравитационном поле, создаваемом вторым телом:
описывает дополнительную силу, связанную со спин-орбитальным взаимодействием. Член О (є4) в этом же уравнении отвечает спин-спиновому взаимодействию и взаимодействию, связанному с квадрупольным моментом черной дыры, - оба имеют порядок малости є4.
Уравнение (8.5.10 Ь) описывает прецессию углового момента черной дыры по отношению к сопутствующей ортонормированной системе, которая не испытывает вращения по отношению к бесконечно удаленному наблюдателю. Гравимагнитная (Oj1^) и геодезическая (flf2*) составляющие угловой скорости этой прецессии и составляющая Я,(3), связанная со взаимодействием квадрупольного момента черной дыры с кривизной, равны соответственно
В пределе, когда Mi ^M2, эти формулы совпадают с уравнениями движения пробной вращающейся частицы в поле массивного вращающегося тела. (Подробное описание решения последней задачи можно найти в книге Мизнера, Торна, Уилера (1973), где также содержатся ссылки на многочисленные оригинальные работы.)
В противоположном пределе, когда относительная скорость и двух черных дыр близка к скорости света, можно использовать разложение
4 M2 + 5 M
г
- +V2 +2 V2 — 4 V1V2 —
(8.5.11)
Член Fi*2* в (8.5.10а), равный
= -L [_/2 + Зл(л/2)], г
(8.5.13)
178
по малому параметру у'1, где 7= (1 — и2)“1/2. Этот метод был применен Д’Эсом (1975b, 1979) для решения задачи о рассеянии двух ультрареля-тивистских черных дыр, движущихся параллельно навстречу друг другу. Исходным пунктом при этом являлось выражение для метрики одиночной равномерно движущейся невращающейся черной дыры в пределе, когда скорость ее движения стремится к скорости света. Эта метрика может быть получена с помощью преобразований из метрики Шварцшильда, записанной в изотропных координатах: