Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем в качестве примера, иллюстрирующего эти общие рассуждения, явное выражение для метрики, описывающей черную дыру во внешнем квадрупольном поле [Дорошкевич и др. (1965*) ]:
л 1
U = — <?(ЗХ2 - 1) (Зд2 - 1), (8.5.34)
4
V = -3qX( 1 -ц2) - -----q2 (X2 -1)(1 - Al2)(9/J2A2 -X2 - ц2 + 1),
16
где q - параметр, характеризующий квадрупольный момент системы, создающей внешнее гравитационное поле. На горизонте X= 1, ц = zjM, и по это-
*• Следует упомянуть, что возможны вакуумные аксиально-симметричные статические метрики,' описывающие пространство-время вблизи горизонта, с топологией тора (см., например, Героч, Хартль (1982), Ксантопулос (1983) и ссылки в этих работах ]. Однако, как это следует из теоремы Хокинга (см. § 6.2), при выполнении условия энергодоминантности внешнее пространство в этом случае не может быть одновременно регулярными асимптотически плоским.
183
Рис. 73. Мгновенно-статическая конфигурация трех взаимодействующих черных дыр (двумерное пространственное сечение пространства-времени)
му нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае и = q. Гауссова кривизна поверхности горизонта событий равна ея
K = ‘---- (1+3? - 12<7И2-9<7V+Vn4)- (8.5.35)
4 Ml
Постоянное внешнее квадрупольное поле, описываемое решением (8.5.34), может быть создано удаленными покоящимися массами. Это решение также приближенно описывает влияние на черную дыру удаленных свободных масс, скорости движения которых под действием взаимного притяжения вначале малы, а поле почти статично.
При получении полных точных аксиально-симметричных стационарных решений, описывающих поведение черной дыры в гравитационном поле, основную трудность, как уже указывалось выше, составляет нахождение решения в области, где присутствует материя. К важным случаям, для которых можно получить точные решения, относятся ситуации, когда черная дыра находится либо в однородном электрическом [Эрнст (1976b) ], либо в однородном магнитном поле [Эрнст (1976а), Эрнст,Уайлд (1976) , Галь-цов, Петухов (1978*), Гальцов (1980*), Уайлд, Кернс (1980), Алиев и др. (1980*), Уайлд и др. (1981), Крори и др. (1983, 1984), Дадлих (1983), Дхираудхар, Дадлих (1984а, Ь) ].
Интересная возможность изучения взаимодействия черных дыр состоит в рассмотрении так называемых мгновенно-статических конфигураций, описывающих систему взаимодействующих черных дыр в момент времени, когда все они покоятся [Мизнер, Уилер (1957), Мизнер (I960, 1963), Линдквист (1963), Брилл, Линдквист (1963), Гиббонс (1972), Боуен, Йорк (1980) ,Кулкарнии др. (1983), Боуен и др. (1984) ,Кулкарни (1984)]. Эта возможность основывается на том, что в момент временной симметрии метрика пространства-времени выбирается так, что удовлетворяются условия gfio - -?, SgfivIdt = 0, а трехмерная геометрия пространства Иц =gjj находится путем решения уравнения
Д(3>=0, (8.5.36)
184
где R - скаляр трехмерной кривизны метрики Иц. Если присутствует
электромагнитное поле, то в момент временной симметрии отличны от нуля только компоненты E1 = Fto, а начальные условия в этот момент времени для системы уравнений Эйнштейна - Максвелла имеют вид
Решение уравнений (8.5.37), описывающее систему Af взаимодействующих заряженных черных дыр [Линдквист (1963), Брилл, Линдквист (1963)], выглядит следующим образом:
а(. > О, Pi > О, r=(x,y,z).
(Двумерное сечение соответствующей метрики для случая N = 3 схематично изображено на рис. 73.) Macca Mt и заряд Qi г-й черной дыры, определяемые по асимптотикам решения на бесконечности листа S1- (при г -*/¦/), суть
Масса M и заряд Q системы взаимодействующих черных дыр, определяемые по асимптотикам решения на бесконечности листа 2 (при г -* °°), равны
[При Pi = а/ решение (8.5.38) описывает систему взаимодействующих незаряженных черных дыр — см. Мизнер, Уилер (1957), Мизнер (1960,1963), Гиббонс (1972).]
Нетрудно убедиться, что
Эти соотношения показывают, что заряды черных дыр складываются аддитивно, в то время как гравитационный дефект масс, связанный со взаимодействием черных дыр, приводит к тому, что суммарная масса системы оказывается меньше суммы их масс. Обсуждение свойств двумерных поверхностей, отвечающих положению горизонтов видимости в момент вре-
Ri^ = IE-Ei, Eiu = 0.
(8.5.37)
dl2 = h.-dx‘dx' = (хФ)2 (dx2 +dy2 + dz2), Ei = [In (х/Ф)]
(8.5.38)
где
M1 = Otj + Pj + S
N OLiPj + а,- Pi
(8.5.39а)
(8.5.39Ь)
N N
M= 2 (о,+ Pf), Q= S (Pi-Oti).
I = I 1=1
(8.5,40)
(8.5.41)
менной симметрии для системы взаимодействующих черных дыр, CM. Брилл, Линдквист (1963),Гиббонс (1972),Бишоп (1984).
Мизнер (1960, 1963) и Линдквист (1963) обобщили решение (8.5.38) на случай, когда вместо системы черных дыр имеется набор ’’кротовых нор” (двумерное сечение подобного пространства в случае одной ’’кротовой норы” схематично изображено на рис. 74).
Подчеркнем еще раз, что в общем случае система черных дыр, описываемая решением (8.5.38), не может оставаться в покое все время. Исключением является ситуация, когда а( = 0и для всех черных дыр выполняется условие М( = Qi [Хартль, Хокинг (1972)]. Если а/ Ф 0, то выражение (8.5.38) может быть использовано в качестве начальных условий при изучении динамики движения черных дыр с помощью численных методов [см., например, СмаррИ др. (1976), Смарр (1979) ].
