Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
162
e sin в r+ - r_
Fue=--------------- -----r— (rl -2Mr0 + Q2)u,
2rr0 R3 rl
0=gF(r0)112 • (8.2.11)
A
В этих формулах г понимается как функция от и и и, определяемая соотношением (8.2.8). Нетрудно видеть, что это решение инвариантно относительно преобразования «->— и, и -+—и, отображающего область I на область I'. Поэтому наряду с сингулярностью, отвечающей мировой линии у заряда, оно обладает также сингулярностью на линии у', отвечающей дополнительному заряду —е (или —g в случае скалярного поля) в области Г. Поэтому выражения (8.2.9) - (8.2.11) не являются решением поставленной задачи о нахождении поля, создаваемого одиночным зарядом.
Искомое решение может быть получено, если учесть, что в областях Г и II', лежащих вне области влияния пробных зарядов, поле естественно выбрать равным нулю*). Это решение может быть представлено в следующем виде [Зельников, Фролов (1982*, 1983*), Демянский, Новиков (1982) ]:
Ftiv = + Fff , F^v = FtivQ (u), F'** = VtivS (и), (8.2.12а)
+ vsing, Vreg=^O(V), vsing =VS(v), (8.2.12Ь)
где Fliv и V - решения (8.2.10) и (8.2.11). Сингулярные члены FsiJtg и Vsing обеспечивают выполнимость однородных уравнений поля на поверхности V = 0. Подставляя (8.2.12а) в уравнения Максвелла (8.2.2а), получаем
Vjv = O, -L Sv(^Vijv)=-F^ Iv^0. (8.2.13)
\-g
Ограниченное на H ~ решение этих уравнений имеет вид
-JM2-Q2 M + Va/2 -Q2
Vtiv =-2e8Y Se, sin0---------------------------т..?==?----- - (8.2.14)
I" /о r0-M->JM2 -Q2 со%в
Аналогично, подставляя (8.2.12Ь) в уравнение для скалярного поля (8.2.2Ь), получаем
Э2Ф ЭФ г+ - г_
------- * = 0’ (8-2-15)
Эд ЭХ г+
ЭФ
---- =0, X = cos в.
Эм
Если черная дыра не является экстремальной (Q < М), то единственным ограниченным на Я- решением (8.2.15) будет Ф=0. Для экстремальной
*) Обсуждение вопроса о граничных условиях для поля пробного заряда в пространстве-времени вечной черной дыры можно найти в работе Демянского, Новикова
(1982).
163
черной дыры (Q = M) имеется также решение 4Ir = const, однако значение 4IrI H не определяется внешним скалярным полем и поэтому не имеет отношения к заряду g. Таким образом, в областях I, II, Г и Il'решение поставленной задачи дается соотношениями (8.2.12а), (8.2.12Ь) и (8.2.13) при Ф = 0.
Аналитическое продолжение легко позволяет определить А и и у в области III’. Вне горизонта Коши (например, в области III) решение однозначно распространить, вообще говоря, нельзя, поскольку в этой области оно зависит от условий, которые требуется задавать дополнительно. В пределе Q = 0 полученное решение описывает поля от точечных источников в пространстве-времени вечной шварцшильдовской черной дыры, метрика которой в координатах и, v, в, имеет вид*)
aIs2 = —2Bdudv + r2du2, (8-2.16)
где
2 г3
B=—Z- е~ rIrs, rs = 2M,
Г
I--V''/'*. (8.2.17)
rS '
Появление б-образной особенности в полученном выше решении для электромагнитного поля связано с постановкой задачи, при которой считается, что заряд все время покоился около черной дыры. Аналогичная особенность возникает и в полном решении, описывающем массивное векторное поле от источника вне черной дыры [Фролов (1978, 1986*)) **. Описанные выше особенности при v = 0 сглаживаются, если рассмотреть решения, описывающие случай, когда заряд вносится в поле черной дыры.
Интересно отметить, что имеется тесная связь полученного выше полного решения для поля от пробного заряда в пространстве-времени черной дыры с решением для поля от равноускоренного заряда в плоском пространстве-времени [Зельников, Фролов (1982*, 1983*)). Для установления этой связи заметим, что если в метрике (8.2.16), описывающей гравитационное поле черной дыры, устремить параметр M к бесконечности, то в конечной области пространства-времени вблизи горйзонта событий влияние кривизны неограниченно уменьшается, и гравитационное поле в этой области все с большей степенью точности можно считать однородным. Формально переход к пределу однородного поля в метрике (8.2.16) осуществляется следующим образом. Вводятся координаты U, V,X, Y, связанные с и, и, в, ip соотношениями
U - 4Ме~1 !2и, V = 4 Me~il2v. (8 Tl 8)
X2 + Y2 = 16Л/2 tg2 (0/2), YIX = tg^.
"") Эти координатны связаны с кооординатами н, и |см. (2.7.12)] соотношениями
U-V - U1 V-V +и.
**)0 поведении массивного векторного поля вблизи шварцшильдовской черной дыры см. также Гапьцов и др. (1984*).
164
В этих координатах метрика (8.2.16) принимает вид
2M . / г \2 UX2jTdY2
2 M , .,м Ir у UXijTdYi
ds2 =------el~rl2MdUdV+\ — ) ---------------— , (8.2.19)
г \2М) / X2 + Y2 \
\1 + 16Af2 J
где г связано сУи F соотношением
UV=\6M2(\--------Vz2m"1. (8.2.20)
\ 2 M )
Если теперь при фиксированных значениях координат U, V, X, Y устремить M к бесконечности, то (8.2.19)переходитв метрику плоского пространства
ds2 =-dUdV + dX2 +d Y2.= -dT2 +dZ2 + dX2 +dY2 =
= - d T2 + dZ2 + dp2 + р2 d^p2. (8.2.21)
Здесь
T = ^(U+V), Z=-J(U-V), p2 =X2+Y2, tgip =^ .(8.2.22)
