Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Стороннику евклидовой геометрии эти удивительные теоремы кажутся странными. Однако они не содержат никакого противоречия. В результате укрепилось убеждение, что открытая неевклидова геометрия, по крайней мере с логической точки зрения, является столь же возможной и приемлемой системой, как и классическая евклидова геометрия.
Дальнейшее развитие этих вопросов подтвердило такую точку зрения. Выяснилось также, что неевклидова геометрия представляет собой теорию не только логически возможную, HO и широко применимую в других областях.
Наглядное толкование неевклидовой геометрии
Утверждения неевклидовой геометрии отклоняются от наших естественных, евклидовых представлений. Поэтому их нельзя понимать так же легко и непосредственно, как евклидову геометрию. Однако имеется возможность построить модели, которые делают неевкли-
72
§ 9. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
дову вселенную более наглядной и более легко воспринимаемой, чем в ее указанной выше чисто логической формулировке. Мы воспользуемся моделью неевклидовой вселенной, предложенной Анри Пуанкаре (1854— 1912) и основанной на ином понимании некоторых евклидовых понятий. В основе этой модели лежит та же исходная идея, что и в модели евклидовой плоскости (см. рис. 6, стр. 52). Опять рассмотрим окружность К евклидовой плоскости и лежащие внутри нее точки (А, В ит д.). Если мы предположим, так же как это было сделано при рассмотрении рис. 6, что находящиеся внутри окружности к подвижные «тела» (т. е. плоские и линейные фигуры) при приближении к окружности сжимаются, то воображаемые живые существа, заключенные в области, ограниченной окружностью, будут воспринимать эту область как неограниченную и бесконечную, т. е. в точности так, как это было в мысленном эксперименте, рассмотренном на стр. 51. Следовательно, для этих существ окружность К представляет собой «бесконечную даль». Точки этой окружности, а также точки, лежащие снаружи окружности, для наших воображаемых существ недоступны, более того, они для них не существуют. Вся вселенная наших существ заключена внутри окружности К.
Перейдем теперь к толкованию «прямых» во вселенной К¦ Как и на рис. 6, будем понимать под «прямой» круговую дугу, заключенную внутри к, однако на этот раз такую дугу, которая (по нашему евклидову представлению) пересекает окружность К ортогонально, т. е. под прямым углом (рис. 12).
Основное отношение «точка лежит на прямой» будем понимать, как и на рис. 6, в соответствии с нашим естественным наглядным представлением.
После того как таким путем истолкованы основные объекты «точка» и «прямая» и отношение связи, мы можем приступить к исследованию правильности аксиом. При этом мы будем опираться на наши естественные, евклидовы представления.
Сразу видно, что через две «точки» проходит точно одна «прямая». В самом деле, согласно евклидовой геометрии, через две точки А и В проходит одна круго-
73
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
вая дуга, пересекающая ортогонально предельную окружность К (см. рис. 12).
Одновременно видно, что аксиома параллельности неприменима: через «точку» С, лежащую вне «прямой» AB, проходит бесконечно большое число «'Прямых», не пересекающих «прямую» AB в «конечной» области (т. е. внутри окружности К). Эти «прямые», параллельные AB, расположены, в согласии с предложением 1
(стр. 72), внутри пары вертикальных углов, ограниченных двумя «предельными» «прямыми», параллельными AB (тонкие круговые дуги на рис. 12).
Следовательно, в модели Пуанкаре отношение связи удовлетворяет неевклидовым аксиомам.
Напротив, отношение порядка имеет «евклидов» характер, так как это основное отношение истолковывается в соответствии с нашим естественным наглядным представлением.
Наконец, рассмотрим отношение конгруэнтности. Для углов оно имеет евклидов характер. Следовательно, угол между двумя «прямыми» равен евклидову углу, образуемому касательными, проведенными в точке пересечения «прямых»; поэтому два угла будут конгруэнтны, если углы, образуемые касательными, равны в обычном смысле. Для «отрезков» (пар точек) определение «конгруэнтности» несколько более сложно, так как необходимо учитывать упоминавшееся на стр. 73
74
§ 9. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОП ГЕОМЕТРИИ
укорочение расстояний при приближении к окружности к]).
Введенное определение конгруэнтности сохраняет в силе евклидовы аксиомы конгруэнтности и евклидовы теоремы конгруэнтности (например, теоремы о конгруэнтности треугольников).
Из сказанного выше следует, что в модели Пуанкаре справедливы все аксиомы неевклидовой геометрии (а евклидовы аксиомы — за единственным исключением аксиомы параллельности). Читателям, желающим получить простое и наглядное представление о явлениях неевклидовой геометрии, рекомендуем изучать эту геометрию при помощи модели Пуанкаре. В качестве примеров остановимся на неевклидовых предложениях 2, 3 и 4, приведенных на стр. 72.
') Для читателей, интересующихся точным определением конгруэнтности отрезков, приведем его в элементарно-геометрической форме. Для этого введем понятие «конгруэнтности» двух «окружностей». Неевклидова окружность изображается любой обыкновенной, т. е. евклидовой окружностью, целиком лежащей внутри окружности К. Для того чтобы определить «конгруэнтность» двух таких «окружностей», рассмотрим сначала две окружности C0 и С, из которых первая концентрична с окружностью К (предоставляем читателю самому выполнить рисунок). Прямая, соединяющая центры окружностей C0 и С, пусть пересекает предельную окружность К в точках P и Q. Проведем через P и Q круговую дугу L, касающуюся окружности C0. Если эта круговая дуга касается также окружности С, то тогда будем считать окружности C0 и С «конгруэнтными». В этом случае говорят, что окружность С «перенесена» в положение Co. Пусть С'— третья окружность внутри К-И ее можно перенести в положение Cq, концентричное с окружностью К- Если C0 и С' совпадут, то будем называть окружности С и С' «конгруэнтными». Следовательно, окружность C0, «конгруэнтная» окружности С, действительно сжимается, когда оиа приближается к периферии, как это и должно быть на основании сказанного выше.
