Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Модель Пуанкаре приводит к этому результату более непосредственным путем. Правда, при этом геометрические объекты и отношения получают толкования, частично не совпадающие с «естественным» евклидовым пониманием (например, «прямая» в модели Пуанкаре имеет вид круговой дуги и т. п.). Благодаря этому каждое утверждение неевклидовой геометрии получает новое толкование иа «евклидовом материале» в рамках евклидовой системы.
Предположим на минуту, что аксиома параллельности может быть доказана при помощи остальных евклидовых аксиом. Эти последние аксиомы, истолкованные в соответствии с моделью Пуанкаре, представляют собой некоторые правильные предложения евклидовой геометрии. Пользуясь этим обстоятельством, мы могли бы на основе модели Пуанкаре шаг за шагом проследить логическую цепь доказательств, которая, по нашему предположению, должна была бы привести к под-
') Другими словами, критики невежд. — Прим. ред.
81
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
тверждению аксиомы параллельности, поступая при этом в точности так же, как мы это делаем в школе, когда с помощью фигуры, вычерченной на доске, проводим какое-нибудь доказательство. Итак, предположим, что в конце концов цепь доказательств привела нас к подтверждению аксиомы параллельности. Ho в модели Пуанкаре этот результат соответствовал бы следующему. Если I есть круговая дуга, ортогонально пересекающая предельную окружность К, то через заданную точку Р, лежащую внутри окружности К, проходила бы только одна круговая дуга также пересекающая предельную окружность под прямым углом, но не пересекающая при этом дугу I внутри окружности К. Однако в евклидовой геометрии такого положения не может получиться, как об этом уже было сказано на стр. 74. Напротив, число таких круговых дуг V бесконечно велико (см. рис. 12).
Это противоречие показывает, что аксиома параллельности действительно логически не зависит от остальных евклидовых аксиом, — правда, в предположении, что система Евклида, на которой были основаны делавшиеся заключения, сама по себе непротиворечива.
§ 10. Отображение пространства в область чисел.
Аналитическая геометрия
Геометрические явления в пространстве могут быть описаны также при помощи чисел путем применения так называемых систем координат. Такие системы образуются тремя прямыми, исходящими из произвольным образом фиксированной начальной точки О и называемых осями координат. В нашей аудитории мы можем выбрать за начальную точку вершину одного из углов помещения, а за координатные оси — три ребра, пересекающиеся в вершине выбранного угла. Каждая координатная ось должна быть, кроме того, «ориентирована»; это означает, что одно из направлений оси принимается «положительным», а другое — «отрицательным». Далее, выбрав единицу длины, например, метр, мы можем снабдить каждую ось шкалой.
82
§ 10. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА В ОБЛАСТЬ ЧИСЕЛ
Тогда каждая из осей станет «числовой прямой», точкам которой будут однозначно соответствовать числа. Начальной точке будет отвечать число нуль, точкам положительной и отрицательной полуосей — положительные и соответственно отрицательные числа. Эти числа, отвечающие точкам, называются координатами этих точек.
В системе координат, взятой в нашей аудитории, координаты пространственной точки P получаются следующим образом: из точки P опускаются перпендикуляры на каждую из трех осей; тогда положение точки P будет определяться тремя числами: «продольной
Z
Z X И
Z V
У
Рис. 16.
координатой» х, «поперечной координатой» у и «высотной координатой» z.
Таким образом, множество всех точек P пространства можно однозначно отобразить на множестве троек чисел (х, у, z).
Это отображение относительно, поскольку оно основано на выборе вполне определенной системы координат (или системы отсчета), выделенной из всех других таких систем заданием осей координат. Если система координат меняется, например, путем поворота вокруг начальной точки или путем параллельного переноса, то изменяются также координаты точки Р.
Для осуществления только что выполненного отображения Р<—>(х, у, Z) мы применили геометрию Ев* клида. В самом деле, построение, которое было выполнено, основано на евклидовой теории параллельных (рис. 16),
83
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
В неевклидовой геометрии построение координат указанным способом невозможно, однако его можно соответствующим образом модифицировать. В этой главе, говоря о координатах, мы всегда будем иметь в виду евклидовы координаты.
В геометрии двумерной евклидовой плоскости положение точки относительно координатных осей определяется двумя координатами (х, у). В одномерной геометрии, в которой рассматриваются лишь точки, принадлежащие одной прямой линии, для определения положения точки достаточно одной координаты х.
Мы видим, что число координат равно размерности рассматриваемого «пространства».
Выше в качестве примера осей системы координат мы указали на три «ребра» нашей аудитории. Эти ребра попарно взаимно ортогональны, т. е. перпендикулярны одно к другому. Наряду с такими ортогональными (прямоугольными) системами координат можно применять также косоугольные системы, в которых оси не перпендикулярны одна к другой.
