Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь можно определить «конгруэнтность» двух отрезков AB и А'В'. Через точки AnB проходит точно одна окружность С, ортогонально пересекающая «прямую», проходящую через А и В. Аналогичным образом строится окружность С', проходящая через точки Л' и S' и ортогональная к «прямой», проходящей через эти же точки. «Отрезки» AB и А'В' называются «конгруэнтными», если «конгруэнтны» (в указанном выше смысле) окружности С и С'.
Приведенные определения конгруэнтности могут быть сформулированы проще, если воспользоваться некоторыми понятиями высшей математики.
75
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
2. Пользуясь евклидовой геометрией, можно доказать, что сумма углов «треугольника» в модели Пуанкаре меньше 180°. Ограничимся случаем, когда рассматриваемый «треугольник» невыпуклый (рис. 13). Он лежит целиком внутри евклидова треугольника, имеющего те же вершины А, В, С. Сразу видно, что углы «треугольника» ABC меньше соответственных углов евклидова треугольника ABC, а так как сумма углов последнего равна 180°, то сумма углов «треугольника» ABC меньше 180°.
Из рис. 13 видно также, что сумма углов «треугольника» уменьшается, когда точки А и 1C отодвигаются вдоль «прямой» AC, а точка В — вдоль «прямой» CB ближе к окружности К (в положения А', С' и В'). Эта сумма приближается к нулю, когда вершины углов отодвигаются «бесконечно далеко», т. е. до окружности (в положения A00, B00 и C00). «Треугольник» А'В'С' в пределе превращается в фигуру, ограниченную тремя «прямыми», из которых каждые две предельно параллельны одна другой. В евклидовой геометрии такой предельной фигуры не существует.
3. В модели Пуанкаре эквидистанты е (гиперциклы) «прямой» I (ЛооВоо) представляют собой евклидовы круговые дуги, соединяющие точки A00 и B00 (однако они не ортогональны к окружности К, следовательно, не являются «прямыми», CM. рис. 14).
4. Орициклы о (предельные линии), ортогонально пересекающие предельные параллели, направленные «к точке Лоо» (в модели Пуанкаре они изображаются круговыми дугами, ортогональными к окружности К), представляют собой евклидовы окружности, касающиеся окружности К в точке A00 (рис. 14).
Неевклидовы качели
Какой вид примет эксперимент, рассмотренный на стр. 29—30, если его выполнить в неевклидовом пространстве? Пусть в модели Пуанкаре горизонтальная прямая A00B00, проходящая через точку О, изображает поверхность земли (рис. 15). На вертикальной стойке OP лежит «прямая» доска AB, которая в положении равно-
76
§ 9. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
весия горизонтальна и параллельна прямой А OO/^OO (перпендикулярна к прямой OP!). При качании доски ее конечная точка А опустится до поверхности земли при условии, что доска AB достаточно длинная, а угол, на который она поворачивается, больше угла а0, образуемого «горизонталью» AB с предельной «прямой» PAm,
параллельной поверхности земли A00Bix,. Этот угол теперь не равен нулю. Правда, он, как это видно из рисунка, очень мал, если высота стойки по сравнению с длиной доски небольшая1). Предлагаем читателю сравнить эту ситуацию с соответствующей евклидовой ситуацией, изображенной на рис. 2 (стр. 29).
Отметим еще следующее очень важное свойство неевклидовой геометрии. Модель Пуанкаре, изображенная на рис. 13, показывает, что стороны «треугольника» ABC, если он очень невелик, почти прямолинейны также
') Вычисления, которые здесь не могут быть приведены, дают для угла а0 значение
ер — 1 Ct0 = 2arc tg———— , ep-j- I
где р есть высота (неевклидова) стойки, а е=2,71 ... — основание натуральных логарифмов. Если р мало, то а0 приближенно равно р, следовательно, также очень мало.
77
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
в евклидовом смысле. Следовательно, сумма углов треугольника в этом случае очень мало отличается от евклидова значения 180°. Отсюда вытекает, что утверждения неевклидовой геометрии для небольших фигур очень мало отклоняются от евклидовых утверждений (это следует также из эксперимента с неевклидовыми качелями при условии, что высота стойки очень мала).
Таким образом, евклидова геометрия в очень небольших частях пространства является предельным случаем неевклидовой геометрии (ср. со сказанным на стр. 25).
Выясним теперь, как будет складываться представление о пространстве у воображаемых живых существ, населяющих вселенную Пуанкаре, если у них будет возможность передвигаться только в очень небольших частях своего пространства. В таком случае их видимое пространство будет ограничено только очень небольшой областью внутри окружности К, и поэтому сумма углов доступных для них «треугольников» будет равна почти 180°. Если угловой дефект треугольника будет составлять только несколько миллионных долей градуса (именно такой дефект мы предположили на стр. 17), то живые существа вселенной Пуанкаре вообще не сумеют обнаружить отклонение измеряемой ими суммы углов от евклидова значения 180°. С эмпирической точки зрения они вполне могли бы принять 180° за точное значение суммы углов своего треугольника. Без сомнения, они так именно и поступили бы. Поэтому они считали бы евклидовым не только видимое пространство своей ближайшей окрестности, но и все пространство в целом. В самом деле, согласно принципу экономии образования понятий, они должны были бы отдать предпочтение такому представлению о пространстве, которое соответствует евклидовой системе, так как последняя в структурном отношении проще, чем неевклидова система (это следует также из приведенных выше соображений, относящихся к модели Пуанкаре).
