КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
дифференциального оператора E'(U) в оператор L, для которого константа
является нулевым решением. Тем не менее, это равенство выполнено в любом
случае, даже если E(U) не обращается в нуль.
Чтобы доказать (3.2), запишем
E'(U)V = 0.
U'{E'(U)(U'W)-WdXn+1E(U)}
? D^G^DxW) = -L(W),
р,Л=1
n+1
E'(U)V = ? D"(a^DxV) - bV,
(i, A=1 n+1
E'(U)U' = ? D^xDxU') - bU',
p,A=l
где
284 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе Полагая V = U'W,
мы найдем
E'(U)U'W - WdXn+1E(U) = ^2{D^(a^xU'DxW) + D^a^xWDxU') -
fi,X
~WDll{allXDxU')} =
= ^{D^a^xU'DxW) + a^x(D^W)(D^U')}.
fi, A
Заметим, что это выражение совпадает с
{ul)-1Y,D^aliXU,2DxW),
откуда следует (3.2).
Для того чтобы найти приближенное решение для (3.1), мы можем
воспользоваться этой формулой и, отбрасывая слагаемое WdXn+1E второго
порядка малости, заменить уравнение (3.1) на
LW = U'E(U), V = U'W, и' = дХп+1и. (3.3)
Это неоднородное уравнение автоматически удовлетворяет условию
совместности.
Действительно, в силу (2.8) мы имеем
J UXn+1E(U) dx = 0.
Это позволяет нам решать уравнение (3.3) для функции W, периодической по
всем переменным с периодом 1.
В дальнейшем нам будет нужно получить не зависящие от v оценки для
решений уравнения
Ер = g, (3.4)
где
Lip = - Е D^{a^x{x)Dx^) + uDn^1(an^1Dn^1(p) L (3.5)
V, Л=1 ^
§3. Нг -оценки для линеаризованного уравнения 285
В наших приложениях мы будем использовать (с изменением обозначений)
ар\(х) = U'2GPllPx, ап+1 = U'2 ао, (3.6)
однако в данный момент мы рассматриваем коэффициенты как известные
функции из C°°(Td), которые удовлетворяют условию
П П
У 1 + ь'ага-ыСп-ы ^ У 1 + Т ь'Сп+1- (3-7)
fi,\=l ц=1
1 2 1 Такая оценка с множителем, скажем, ±, следует из (2.11), если U' >
В дальнейшем мы будем опускать этот множитель, например, заменяя G на 2G.
(Ь) При v > 0 оператор L из (3.5) является эллиптическим и
взаимнооднозначно отображает пространство Соболева
я; = {^еяг J<pdx = о}
на если г ^ 2. Для того чтобы получить оценки, которые не
зависят от v, нам необходима следующая лемма.
Лемма 3.1. Для ip ? C°°(Td) мы имеем
П
?\\DM\l + "WDn+wWl "= (Ьр, <р). (3.8)
11 = 1
Кроме того, если а удовлетворяет условию (1.9), то для всех
действительных г выполнено
п
^ llM-T+n если {ip, 1) = 0, (3.9)
{1=1
здесь ( , ) означает внутреннее произведение
Ф) = J dx.
286
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Доказательство неравенства (3.8) непосредственно следует из (3.5) и
(3.7). Неравенство (3.9) сразу вытекает из неравенства (1.9) и
представления Фурье функции (р. Это неравенство отражает снижение
гладкости на т благодаря "малым знаменателям". Действительно, согласно
(1.9) имеется снижение гладкости на т только в жга+1-направлении. Заменяя
j^+1 на \j\2, мы не учитываем этот факт; хотя его следовало бы
рассмотреть, если бы нам нужно было получить лучший порядок гладкости.
Следствие 3.2 (Из леммы (3.1)). При и > 0 отображения
имеет ограниченное обратное. Кроме того, если g ? Н§° = f)Щ, то
единственное решение ip ? Hq уравнения Lip = g принадлежит Н§°.
В самом деле, первое утверждение следует из (3.8), поскольку для <р ? Щ
левая часть мажорирует ||<p||i, следовательно
Отсюда следует существование и ограниченность Ь~г. Второе утверждение
также стандартно, поскольку L - это эллиптический оператор (при v > 0) с
гладкими коэффициентами. Тем не менее, норма ||Т-1|| зависит от V. Чтобы
получить не зависящие от v оценки, покажем, что Т-1, рассматриваемое как
отображение из Щ в HqT, имеет норму, ограниченную 7-1.
Следствие 3.3. Для 0 ^ ^ ^ 1 и ip ? Hq° выполняется неравенство
L : Hi Я(
Г-1
Г
l\\<p\\-T ^ \\L<p\\T-
(3.10)
(с) Нам нужны аналогичные оценки для ||<^||_т+г при больших
положительных г. Для этого необходимо проверить, как константы зависят
§3. Нг -оценки для линеаризованного уравнения 287
от коэффициентов арл- Мы выберем А > 1 такое, что для заданного
положительного целого г выполнено
П
'У1 ||а^л||г + ||an+i||r ^ -А. (3.11)
ц,\=1
Пусть для некоторой константы со
П
У, \o-nx\c1 + \ап+1\сг ^ со- (3-12)
р,А=1
Лемма 3.4. Б предположениях (3.11), (3.12) для всех ip Е i?Q° выполнена
оценка
ll-EVHIr + v\\dXn+M\г ^
V)r + и2 |ЗДо + u\dXn+Moj }, (3.13)
где ст зависит от Со и г, но не зависит от v и А; здесь (, )г обозначает
внутреннее произведение в Н?.
При доказательстве (3.13) используется представление
(Lip, <p)r = ((1 - (2тт)~2 A)r Lip, <р)
и требуется оценка коммутаторов дифференциальных операторов порядка 2г и
L. Мы опустим выкладки, поскольку они были более или менее подробно
проведены Козловым [10]. Они понадобятся в дальнейшем, чтобы проверить
зависимость от коэффициентов оператора L, выраженную через константу А.
(d) Запишем оценку (3.13) в более точном виде. Используя (2.10) и
(2.17), мы получим для г > t > (п+ 1)/2
П П
У \DMl + V\8xn+Ml < у \\L>M\t + "Wdxn+Mft <
fl=l fl=l
<; e-Lir-t) \\Dpip\\l+v\\dXn+M\i)+e[У \\DM\l+u\\dxn+1<p\\l\-
V= 1 ' ^Ll=l '
288 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе Полагая е =
