КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
С1(Тп+1), выполнено тождество
J ?a(G,U)UXn+1dx = 0. (2.8)
'J'n + l
Это легко получить, дифференцируя по е. Это также вытекает из равенства
71+1
?a(G, U)UXn+1 =Y,Dfl(Gp^(x, U, DU)UXn+1) - Dn+1G(x, U, DU),
fl = 1
из которого видно, что первая часть - это дивергентное выражение.
Интегрируя его, получим (2.8), используя условие периодичности и-хп+1 е
С+т^1).
(d) Чтобы сформулировать обобщение теоремы 1 для регуляризо-ванной
вариационной задачи, мы используем пространства Соболева Hs(Td). Для
гладкой функции р на торе Td = M.d/2,d (d = п + 1) определим с помощью
представления Фурье
<Р = Е ^27!iU'x)
jezd
норму Соболева ||<?>||г как
ии|;= EU + iji Tfef, =
jezd д=1
для любого действительного г. Замыкание пространства C°°(Td) относительно
этой нормы определяет пространство Соболева Hr(Td). Здесь допускаются и
отрицательные нормы, в том виде, в каком их рассматривал П. Д. Лаке (P.
D.Lax). Через Щ обозначим подпространство таких р € Нг, для которых
§2. Регуляриэованная вариационная задача 277
Мы будем использовать стандартные свойства этих пространств, в частности,
что для s > t выполнено Н8 С Н* и
1М1< ^ IMI* для всех ip ? Н8.
Кроме того, вложение Н8 -> Нь компактно.
Одной чертой будем обозначать равномерную норму, т. е. для целых г ^ 0 мы
пишем
Mr- = И С"- для ip е Cr(Td). (2.9)
Тогда для всех ip € Cr(Td) выполнено
IMIr ^
В обратную сторону, для любых г и t > d/2 выполнено
Mr- ^ Cr,t\\ip\\r+t для ip е Hr+t, (2.Ю)
это простейшее неравенство Соболева.
(е) Чтобы сформулировать наш результат о решении уравнения (2.4),
мы рассмотрим функцию G = G(x, р, v) вида (2.2), где
F € С°° (12) удовлетворяет условию Лежандра (1.4) с А = 1. Кроме
того, мы предполагаем
а0 6 C°°(Tn+1), oo^l, так, что G удовлетворяет условию Лежандра
П+1 П
53 ^РдРа?д?а ^ ^Cra+l + 53 ^Д (2-11)
д,г/=1 /1=1
для и > 0.
Наша цель - решить уравнения Эйлера для задачи (2.1). Пусть функция G
будет фиксирована. Введем функционал (2.6):
E(U) = ?a(G, U) = vDn+1(ao(x, U)Dn+1u) - %a0,Xn+1U2Xn+i +
П
+ 5] DMFP|1 (x, U, DU) - Fu(x, U, DU). (2.12)
/1=1
278 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Так же как и в теореме 1, мы предполагаем, что U* - это приближенное
решение уравнения E(U) = 0 при фиксированном v ? (0, 1] в следующем
смысле. Потребуем, чтобы для некоторого положительного целого числа а =
а(т, п) > d/2 + 1 и некоторой константы М выполнялись соотношения
U*(x)-xn+1?Ha(Tn+1),
\\U* - хп+1\\а < М, дХп+1и*>М-\ (2.13)
(ж, U*(x), DU*(x)) ? Cl для всех х ? Tn+1,
и чтобы для некоторого фиксированного v ? (0, 1] выражение ||.Е(Е/*)||Г
было малым.
Теорема 3. Пусть F ? С°° (12), ао ^ 1 и а ? Ж" удовлетворяет условию
(1.9). Пусть т ? Z и т > |(n + 1), положим
а = 9т +10, Ь = 17т + 19.
Тогда для заданных е > 0, М >0 существует положительное число S,
зависящее от п, т, 7, е, М и от верхних границ для \а\, для l-Flc^n)*
|ао|с<> такое, что выполнено следующее свойство: если для некоторого v ?
(0, 1] найдется приближенное решение, удовлетворяющее (2.13) и
\\E(U*)\\r < S, (2.14)
то найдется и точное решение U уравнения E(U) = 0 такое, что
U - хп+1 ? С°°,
\\и-и*\\5г+6 <е, \\U - хп+1\\г < Сг (2.15)
для всех целых г ^ 1, где константы Сг зависят только от F, ао, но не
зависят от v.
Для v > 0 уравнение E(U) =0 - это дифференциальное уравнение в частных
производных эллиптического типа, для которого имеется теория о глобальном
существовании решений. Смысл этой теоремы в том, что оценки (2.14),
(2.15) не зависят от выбора v и поэтому приводят к решению вырожденного
уравнения для v = 0. Фактически здесь мы получаем теорему 1, как
следствие из теоремы 3.
§2. Регуляриэованная вариационная задача 279
Пусть U* - это приближенное решение в смысле (1.10), (1.11). Тогда
условия (2.13) выполнены и
||Я(1Щ|Т О + 1/с,
где константа с зависит от М, поскольку т + 2 < а. Таким образом, мы
имеем
\\E(U*)\\T < 25 при 0 < v < с~15,
т. е. приближенное решение с 25 вместо 5. По теореме 3 существует такое
решение U = U(x, v) уравнения E(U) = 0 для всех v 6 (0, с-1<$),
удовлетворяющих (2.15). По теореме 2 эти решения единственны с точностью
до фазового сдвига, который можно нормировать условием
J (U(х) - хп+1) dx = 0.
Тп+1
При v -" 0 мы получим решение уравнения ?(F, U) = 0 такое, что U - хп+\ 6
C°°(Tn+1). Кроме того, поскольку 5т + 6 > d/2 + 2, мы выводим из (2.15) и
(2.10), что \U - t/*|c2 < се. Мы можем полагать, что е выбрано столь
малым, что (ж, U(x), DU(x)) 6 12. Таким образом, заменив се на е, мы
увидим, что теорема 1 следует из теоремы 3.
(f) Мы обратимся к доказательству теоремы 3 в следующих двух
параграфах, но прежде приведем некоторые стандартные оценки для
соболевских норм, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Норма Соболева ||^>||г, определенная выше, является логарифмически
выпуклой функцией по г. Для всякой функции ip € Hm и г < s ^ m выполнено
IMUr-Ki-A). ^ IMIrlMli"A при л е (o,i). (2.16)
Иногда предпочтительнее записывать это нелинейное равенство в
