КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
уравнения Эйлера из § 1, где вместо п стоит К. На самом деле для К > п
это не так, поскольку условие Лежандра (6.6) выражается через п
переменных р G R", а не через К переменных 717., где
к+1 PV = ^
к=1
Иными словами, соответствующая вариационная задача на торе ТК+1 является
вырожденной. По этой причине глобальная теория (которая развита в [16])
отсутствует в квазипериодическом случае. Не имеет места даже для п = 1
аналог теории Мезера (Mather) для обобщенных квазипериодических решений
обыкновенных дифференциальных уравнений
= ж)' ж) = "Ж • • • , LJKt, х),
at (6.8)
ip G C°°(TK+1).
Однако локальная теория, развитая в этой статье, не является столь
чувствительной. Она дает квазипериодические решения уравнения (6.8) с
базисом частот u>i, Ш2, ¦ ¦ ¦ , шк и а, если |А| достаточно мало
и если . . . . ^
\uiji + U2J2 Н 1- икЖ + ajK+i\ > 7 Ы
для всех j G Ък+1\(д). Это частный случай результата работы [14], который
обобщен здесь на дифференциальные уравнения в частных производных.
Благодарности. Статья была закончена со значительной задержкой;
результаты были представлены на нескольких конференциях (Институт
Стеклова, Москва, 1984 [11]; Бар Илан, Израиль, 1985; Институт Куранта,
Нью-Йорк,1986) и доказательство было представлено на семинаре ЕТН в
Цюрихе. За обсуждение этой темы я хочу выразить
308
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
признательность Дж. Фрелиху (J. Frohlich), Д. Саламону (D.Salamon), Т.
Спенсеру (Т. Spencer) и Е.Цендеру (Е. Zehnder), а также С.Агмону (S.
Agmon), который привлек мое внимание к работам С. М. Козлова.
Литература
[1] V. Bangert. The existence of gaps in minimal foliations. Aequationes
Math. 34 (1987), 153-166.
[2] V. Bangert. A uniqueness theorem for Z"-periodic variational
problems. Comm. Math. Helv. 62 (1987), 511-531.
[3] V. Bangert. Mather sets for twist maps and geodesics on tori. Dynam.
Rep. 1 (1988), 1-56.
[4] E. Gagliardo. Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in
piii variabili. Ric. Mat. 8 (1959), 24-51.
[5] A. Haefliger. Some remarks on foliations with minimal leaves. J.
Differential Geom. 15 (1980), 269-284.
[6] A. Haefliger. Currents on a circle invariant by a Fuchsian grup.
Geometric Dynamics. Lecture Notes in Mathematics 1007. Springer, New York
(1983), 369-378.
[7] L. Hormander. The boundary problem of physical geodesy. Arch. Rat.
Mech. Anal. 62 (1976), 1-52.
[8] L. Hormander. On the Nash-Moser implicit function theorem. Ann. Acad.
Sci. Fennicae, Ser. A. I. Math. 10 (1985), 255-259.
[9] N. Iwasaki. Stringly hyperbolic equations and their applications.
Patterns and Waves. Studies in Mathematics and its Applications 18. AMS,
Providence, RI (1986), 11-36.
[10] S. M. Kozlov. Reducibility of quasi-periodic differential operators
and averaging. Trans. Moscow Math. Soc. 46 (1984), 101-126.
[11] V. V. Kozlov. Calculus of variations in the large and classical
mechanics. Russ. Math. Surveys 40, #2 (1985), 37-71.
Литература
309
[12] J.N.Mather. Existence of quasi-periodic orbits for twist homeomor-
phisms of the annulus. Topology 21 (1982), 457-467.
[13] J.N.Mather. Destruction of invariant circles. Report.
Forschunginsti-tut fiir Mathematik, ETH Ziirich (1987).
[14] J. Moser. On the theory of quasi-periodic motions. SIAM Rev. 8
(1966), 145-172.
[15] J. Moser. A rapidly convergent iteration method and nonlinear
differential equations, I and II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 20 (1966),
265-315, 499-535.
[16] J. Moser. Minimal solutions of variational problems. Ann. Inst.
Henri Poincare, Anal. Nonlineaire 3 (1986), 229-272.
[17] J. Moser. Minimal foliations on a torus. Four lectures at CIME Conf.
on Topics in Calculus of Variations (1987). To be published in Springer
Lecture Notes in Mathematics.
[18] L. Nirenberg. On elliptic partial differential equation. Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa, Ser. Ill 13, #11 (1959), 1-48.
[19] H. Riissmann. Ueber die Existenz kanonischer Transformationen bei
mehreren unabhangigen Veranderlichen. Arch. Rat. Mech. Anal. 8 (1961),
353-357.
[20] H. Rummler. Quelques notions simples en geometrie riemannienne et
leurs applications aux feuilletages compacts. Comm. Math. Helv. 54
(1979), 224-239.
[21] D.Salamon and E. Zehnder. KAM theory in configuration space. Comm.
Math. Helv. (1988), to appear.
[22] V. Sprindzuk. Metric Theory of Diophantine Approximations. Halsted
Press (1979), see in particular Ch. 1, §5.
[23] D. Sullivan. A homological characterization of foliations consisting
of minimal surfaces. Comm. Math. Helv. 54 (1979), 218-223.
[24] E. Zehnder. Generalized implicit function theorems with applications
to small divisor problems I. Commun. Pure Appl. Math. 28 (1975), 91-140.
ЛАГРАНЖЕВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОБ ИНВАРИАНТНОЙ КРИВОЙ ДЛЯ
ЗАКРУЧИВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ1
§ 1. Производящие функции
Данное доказательство содержится в неопубликованных записях лекций,
прочитанных Ю. Мозером на ETH-Ziirich в июне 1986 года.
