КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентной линейной форме. Поскольку для всех положительных чисел ?,
и, v выполнено
mV_a ^ е~{1~х)/хи + ev, то из неравенства (2.16) следует, что
IMIah-(i-a). ^ е-(1-А)/А||И1г + е|М1. (2-17)
280 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
для всех е > 0. Действительно, это соотношение с точностью до константы
эквивалентно (2.16). Если мы положим t = Ar+ (1 - A)s ? (г, s), это
неравенство примет вид
r<t<s
для всех е > 0, ip ? Hs.
Для нелинейных операций нам необходимы следующие оценки. Если ip, ф ? Нг
П С0, г - положительное целое число, то существует константа сг такая,
что выполнено
\\т>ф\\г ^ с,.(Мо|М1"- + MolMIr)- (2-18)
Это неравенство можно получить из оценок / f \р/(2г)
{JTJdP(fi\2r/P dx) < сг\^~р),гЫ\гр/г (2.19)
для всех производных др порядка \р\ ф г. Это частный случай неравенства
Гальярдо (Gagliardo) и Ниренберга (Nirenberg), см [4] и [18]. Объединяя
(2.18) и (2.10), мы получим для t > d/2
\\т>Ф\\г ^ ct,r(IMMMIr + IMItlMI"-)
и для г = t > d/2
W^Wt ^ ct\\ip\\t\\ip\\t, (р,ф?Н1. (2.20)
Поэтому для t > d/2 пространство Нь - банахова алгебра, ее иногда
называют кольцом Шаудера.
Между прочим, применяя (2.20) к степеням ipp с р = 23, мы выводим
1И1о ^ ^
откуда следует, что при t > d/2
sup \<р\ = lim \\<pp\\l/p ф Ct\\<p\\t,
p-> OO
это приводит нас обратно к неравенству (2.10).
§2. Регуляриэованная вариационная задача 281
Для отрицательных форм имеет место неравенство
|_, "С ctM-tMWt (2.21)
для ip ? Н ф Е Нt > d/2. Это следует из определения отрицательной нормы
\\<р\\-t = sup (ip, С),
IICIU^i
здесь (,) означает продолжение внутреннего произведения в Н°.
Действительно, в силу (2.20) мы имеем для всех ? ? Нь
\(рФ, 01 = |(р, ФС)\ ^ ^ 1М1-*й|
инчпь
что доказывает (2.21).
Наконец, нам необходима оценка для композиции функций. Предположим, что
/ е Сг{тЛ хП), р е С°(тп, 12) п нг(тп),
12 ограничено. Тогда композиция f(x, р(х)) принадлежит Нт и для целых г ф
0 выполнено неравенство
\\f(x,p)\\r^cr\f\c<il + \\p\\r), (2.22)
здесь константа сг зависит от г и от диаметра 12. Заметим, что здесь
неявно подразумевается, что \р\ц ограничена диаметром 12. Это неравенство
следует из (2.19) (см. [15]).
Для t > d/2, р, ф ? Н1 и / = f(x, у) ? Ct+1 мы имеем неравенство
IIf(x, р) - f{x, ф)\\t "С Ct|/|ct+i(l + \\p\\t + llV'llt)!!^ - Ф\\г-
(2.23)
Это следует из
1
f(x, р) - f(x, ф) = J ^/(ж, р + Х(ф - p))d\ =
о
1
= J fv{x,P + а(ф - р))d\ -(ф-р),
282
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
и из (2.20):
||/(ж, ф) - f(x, ф)\\гаи "С sup \\fy(x, р +\(-ф - p))\\t\\x/; - p\\t.
Л<Е[0,1]
Используя (2.22), мы получаем (2.23).
Нам также понадобятся простые свойства аппроксимации функции (р
тригонометрическими полиномами. Для N ^ 0 и ip ? [J Нг положим
Sn<p = Y, 03e2niU,x) е Пяг = я°°-
UKN Г
Тогда, очевидно выполнены неравенства
||5jv^||* "S (1 + iV2)*/2\\ip\\r, t = max(s-r,0),
||(/ - 5jv)^||r ^ (1 + iV2)-(-s-т'-*/2H^Hs при г < s
для всех (р ? H°°(Td) = C°°(Td).
§ 3. Д^-оценки для линеаризованного уравнения
(а) Доказательство теоремы 3 основано на итерационном построении
решения, которое в то же время обеспечивает независимость оценок от v.
Поскольку задача была поставлена в виде теоремы о неявной функции,
наиболее подходящей для такого построения является работа Цендера [24].
Мы также приведем изящные представления Хёрмандера (Hormander) ([7],
[8]), основанные на подходе Нэша (Nash). Тем не менее, эти работы не
удается непосредственно применить, поскольку здесь оценки для
линеаризованных уравнений несколько слабее, чем требуется там. Мы
приведем также формулировку (без доказательства) теоремы о неявной
функции, основанной на работе Хермандера, из статьи Ивасаки (Iwasaki)
[9], в которой утверждается существование только приближенного решения
линеаризованного уравнения. Впоследствии мы применим метод, развитый в
работе [15]. Он состоит в поочередном использовании метода Ньютона и
процесса сглаживания.
Все эти методы основаны на нахождении приближенного решения линейного
уравнения
E'(U)V + E(U) = 0,
(3.1)
§3. Нг -оценки для линеаризованного уравнения
283
здесь E'(U) - это производная Фреше функционала E(U), определенного в
(2.12). Отметим, что здесь нет необходимости (и возможности) находить
приближенное решение уравнения E'(U)V + g = 0 для произвольной функции g.
Если U - это решение уравнения E(U) = О, то дифференцирование по хп+\
дает решение V = UXn+1 однородного уравнения
Поэтому разрешимость неоднородного уравнения накладывает условие
совместности на g.
Чтобы записать это условие совместности, мы введем, следуя Козлову [10],
функцию W = V ¦ U~* , зная, что UXn+1 > 0. Тогда это преобразование
переводит V = UXn+1 в W = 1.
Эта ситуация выражается следующим равенством
здесь U' = dXn+1U, а дифференциальный оператор L определяется из этой
формулы. Теперь мы проверим это равенство при помощи непосредственных
вычислений; оно вытекает также из формулы преобразования (2.7). Если E(U)
= 0, то можно видеть, что (3.2) представляет собой преобразование
