КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
масштабированные нормы Соболева
для г > п. Тогда имеет место следующее свойство банаховой алгебры,
которое мы докажем в приложении.
(5.16)
ТО положим
(5.17)
Тогда, очевидно,
U(Dap - к) = Da<p + к.
U : Нг(Т2п) Нг(Т2п)
Ttp = Utp,
(5.18)
(5.19)
§5. Схема доказательства основной теоремы 413
Лемма 5.3. Для действительных г ^ s > п и а, /3 > 1 таких, что 1 + 1 = 1,
выполняется неравенство
а р
Ш\\г^^\\Ф\Ш\\г + ^\\ФШ\и.
В частности, \\фф\\г ^ Ц^ЦвЦ^Цг + cr||^||r||V>||* м ||<М||г ^ 1МЫМ1"--
Теперь мы решаем уравнение Z + QTZ = G.
Лемма 5.4. Если Q, G ? (7°° (у2") и
для некоторого q > п, то уравнение Z + QTZ = G имеет единственное решение
Z ? и
^(||С||г + ||<г1Ы№
для всех г ^ q.
Здесь существенно то, что условие малости не зависит от г, а зависит
только от фиксированной нормы ||Q||g. В противном случае мы бы не могли
утверждать, что решение Z является гладким.
Доказательство леммы 5.4.
По свойству банаховой алгебры
\\QTZ\\q^\\QU\TZ\\q^d\\Z\\q.
Следовательно, QT является сжимающим отображением в Hq(T2n), и существует
единственное решение Z уравнения Z + QTZ = G в этом пространстве такое,
что \\Z\\q ^ 2||G||g. Для г > q выберем а так, чтобы аг~г = 2(r) и пусть b
= (а - 1)_(?'+1). Тогда
\\QTZ\\r^\\Q\\q\\TZ\\r + b\\Q\\r\\TZ\\q<:d\\Z\\r+b\\Q\\r\\Z\\q
и
\\QTZ\\r + \\\QTZ\\q <С d\\Z\\r + (A-^HQHr + d)\\\Z\\q.
Отсюда следует, что QT является сжимающим отображением и для
эквивалентной нормы \\Z\\~ = ||Z||r+A||Z||9, если мы выберем А =
4b||Q||r. Следовательно, Z принадлежит также и Нг(Т2п) для каждого г > q
и ||Z||~ ^ 2||(х||~, откуда вытекает заключительная оценка. ¦
4140 сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
По теореме 4.2 найдем теперь единственное решение W, к уравнения DaW - к
= Z такое, что [W] = 0 и ||ИГ||,,_Т + |к| ^ cr||Z||r. Оно, в свою
очередь, по формуле (5.14) определяет решение V, а уравнения (5.12)
такое, что [V] = 0 и
Ц^Цг-т + Ы ^ cr||z||r.
Конечно, мы можем добавить к V постоянный действительный вектор R так,
чтобы функция
F = F"(V+R) (5.20)
имела нулевое среднее значение. Из соотношений (5.9), (5.11) и (5.12)
следует, что определенные таким образом F и а являются решениями
уравнения
E(F, a) +E'(F, a)F + Ea(F, а)а = (dyE)V. (5.21)
Окончательные оценки (которые будут доказаны в приложении) получились
такими.
Лемма 5.5. Если \\С - C°\\q+n+1 + \\F - F°||g+i < S, где S является
достаточно малым для некоторого заданного q > п + т, то урав-
нение (5.21) имеет единственное гладкое решение F, а, V, [F] = О, [V] =0,
которое удовлетворяет условиям
||%_T + |a| ^cr(||l?||r + ||F||r+i||l?||9)
\\(dyE)V\\r.T "С cr(\\E\\r\\E\\q + \\F\\r+i\\E\\l)
для всех г ^ q. Здесь F и V связаны соотношением (5.20).
8. Итерационный процесс. Решение для E(F, а) строится теперь при
помощи последовательных приближений F", а", v = 0, 1, ... Положим F°(y) -
у, и пусть ор задано; определим Fv, av индуктивно. Для этого нам
понадобится сглаживающий оператор Sn, N 6 N, который мы просто определим
как срезку
sN<p= ?
ЬКлг
(5.22)
§6. Четырехмерный тор Г4. Резонансный случай здесь мы воспользовались
(5.16). Затем мы определим F"+1 -Fv = SNvF, av+1 -av = a.
415
Здесь F, a - это решение уравнения (5.21), в котором вместо F, а надо
написать Fv, av, а У заменить в соответствие с формулой (5.20).
Проверка того, что этот итерационный процесс сходится, проводится
достаточно громоздко, но стандартно. Нужно выбрать соответствующую
последовательность Nv и проверить, что |остает-
ся достаточно малым для всех г/, поскольку это требуется при решении
уравнения (5.21). Детали будут приведены в приложении.
§ 6. Четырехмерный тор Т4. Резонансный случай
1. Теория Денжуа (Denjoy). В этом и в следующем разделе мы ограничимся
рассмотрением случая п = 2, т. е. четырехмерного тора. Мы приведем
специальный пример, иллюстрирующий тот факт, что свойства голоморфного
слоения изменяются в резонансном случае, т. е. когда существует точка j е
Z4 \ (0) такая, что
Этот пример основан на теории Денжуа действительных векторных полей на 2-
торе, содержащих параметр
Здесь / € С°°(Т2), А - действительный параметр. Если у = у(х, А, у0)
означает решение с начальным условием у(0) = уо, то
где р(\) не зависит от уо, а зависит только от Л. Число р(\) называется
числом поворота; это непрерывная функция переменного Л, а вообще говоря,
это канторова функция, которая принимает рациональные значения на
интервалах положительной длины. Из теории Денжуа известно, что для
иррационального р = р(\) поток, определяемый уравнением (6.1), является
топологически сопряженным к кронекеровскому
(j, а) = 0.
(6.1)
416 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
потоку: существует гомеоморфизм
(х, 0) ->• (х, у = g(x, 0))
(6.2)
тора, где g- в € С(Т2), g строго монотонно возрастает по в такой, что
каждое решение уравнения (6.1) имеет вид (см. [7])
Другими словами, (6.1) топологически сопряжен к
если р рационально.
С другой стороны, если р = p/q рационально, то, вообще говоря, (6.1) не
