КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать структуры J(x), близкие к постоянным матрицам, так что этот
базис можно представить в виде
2 п
Cki/i^x^dXjyj к - 1,2,... , п (2.2)
!/=1
§2. Почти комплексная структура на Т2п 397
с й2п-периодическими коэффициентами Ckv- Кроме того, поскольку u>k и Wk
порождают Т^М, мы имеем w± А и>2 А ... A wn A w± Л ... Л wn ф О, что
эквивалентно
A = det(^#0, (2.3)
где С обозначает (п х 2п)-матрицу {Ckv)- Очевидно, матрица С = С(х)
определяется не единственным образом, так как изменение базиса приводит к
А(х)С(х), где А Е Gl(Cn). Изменение базиса в Z2(tm) соответствует замене С
на CU, где U - это унимодулярная матрица (т. е. целая матрица с det U =
1).
Двойственный базис Vi, Vi к wk, Wk, заданный равенствами
Uk{Vi)=8ki, wk{Vt)= 0, (2.4)
определяет базис в Е = span(Vi, V2, ... , Vn). В координатах это
запишется как
2 п
Vt = Y,BiAx)dxv (2-5)
В силу (2.4) имеем
V=1
С\ /В4 Т
с ¦ Ы = е-6')
или
СВТ = 1п, СВ = 0. (2.6")
В случае, когда С не зависит от х, формы u>k являются точными
форма-
ми, и они определяют комплексные координаты Zk равенствами u>k = = dzk,
где
z = Сх.
Матрица J = (</"м), определенная соотношением (1.5), связана
J1
с матрицей С уравнением (1.6), где Т = (Ст, С ), другими словами,
выполнено равенство
С( JT + И) = 0. (2.7)
3. Для того чтобы написать дифференциальные уравнения псев-
доголоморфной кривой из С со стандартной комплексной структурой "/stand :
-"¦ \д^, рассмотрим отображение
/: (С, "/stand) (К2", J),
398 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
заданное М2п-значной функцией х = /(С)- Это отображение является
голоморфным, если отображение /*: T*(M2n, J) ->¦ (Т*С, Jstand) переводит
Е* в линейную оболочку дифференциала d(, т.е. если
f*cok = A kd(, (2.8)
где Л* - это комплекснозначная функция переменной х. Поскольку
Гшк = ? Ck4f)(dcUdC + %UdC), отсюда следует, что
С(Л%/ = 0, (2.9)
где C(f)d(f определяет вектор Л = (А*).
Параметризованная кривая, определяемая системой (2.9) из п комплексных
уравнений для отображения /, является псевдоголоморфной. Эта система
эллиптическая: если ? = ? + ir], 2д? = + idn, то, за-
меняя д?, дп действительными переменными Л, ц, мы можем записать матРИЦУ
системы Л_(С(\ + щ)\
а(х, А, ц) - •
Характеристическая форма есть
det <т(а;, А, /л) = (А2 + /л2)пА(х),
где Д - это определитель (2.3). Эта форма не имеет вещественных
нулей, поэтому (2.9) - это эллиптическая система, ее решения
будут
построены в пятом разделе.
§ 3. Интегрируемый случай. Теорема Бангерта
1. В этом разделе мы рассмотрим случай постоянной матрицы J
или С, который соответствует интегрируемой ситуации с комплексными
координатами z = Сх. Мы будем исследовать проекции комплексных прямых на
торе - которые, по существу, совпадают в линейной алгебре - помимо
теоремы Бангерта, которая основана на теореме Пикара.
2. В вещественных координатах комплексная прямая имеет вид
х = f(() = + а( + const; а ? С2(tm) \ (0), (3-1)
где, согласно (2.9), вектор а удовлетворяет условию
Са = 0. (3.2)
§3. Интегрируемый случай. Теорема Бангерта
399
Такая параметризация комплексной прямой, конечно, не единственная. Она
определяется с точностью до линейного преобразования ( ->¦ Х( + /г; Л, /л
6 С, Л ф 0, если мы предполагаем (а впоследствии это так и будет), что
отображение /: С ->¦ /(С) инъективно. Тогда для любой целой функции <р\ С
-"¦ С отображение / о ip будет давать другое инъективное представление,
если <р однолистно. Однолистными отображениями С в себя являются только
линейные функции. Поэтому отображения /: С -"¦ /(С) будет даже
диффеоморфизмом.
Таким образом, непараметризованные комплексные кривые, проходящие через
начало координат, характеризуются семейством (Ха), Л е С*. Множество этих
классов эквивалентности есть -Р"-1. Чтобы задать эти прямые в комплексных
координатах z = Сх, заметим, что (3.1) соответствует представлению
семейства
z = с( + const,
где
с = С а, 0 = С а.
Обращая это соотношение и используя (2.6"), получим равенство
а = ВТс,
показывающее, что соотношение между а Е С2(tm) \ (0), удовлетворяющим
условию (3.2), и с ? С(tm) \ (0) является изоморфизмом. Непарамет-ризованная
кривая задается множеством (Лс): Л ? С*, т. е. элементами из Р?~\
Заметим, что условие (3.2) эквивалентно условию, записанному В (1.9),
(JT + И )а = 0. (3.3)
Это утверждение следует из (2.3). В самом деле, если Са = 0, то из (2.7)
следует
(с) (jT + г1^а= (C(JT + П)а) = °'
т.к. C(JT + il)a = C(JT - il)a + 2iCa = 0. Из (2.7) получаем (3.3).
Обратное доказывается аналогично.
3. Теперь мы рассмотрим образ комплексной прямой L ? (М2га, J)
относительно проекции р: М2га ->¦ Ж2п/h2n. Топология на p(L) зависит от
rank(L П Z2n) = r(L) = г,
400 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
где г = 0, 1 или 2 соответствует случаям p(L) ~ С, С* или 2-тору.
Последний случай является исключительным.
Предложение 3.1. В пространстве постоянных комплексных структур на торе
