КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
2 во введении, где мы, тем не менее, допускаем почти комплексные
структуры.
426 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
§ 8. Приложение. Юрген Пешель (Jurgen Poschel)
В приложении мы приведем доказательство леммы 5.5 и итерационное
построение решения нелинейного уравнения (5.3), которое дает
доказательство теоремы 5.1.
1. Доказательство леммы 5.3. Пусть А = аг 1, /х = (Зг
где а + \ = 1 и ПУСТЬ
A|j - k\s\k\r +p\j - k\r\k\s rjl ajk =-----------------------------------
----, [k\ = max(|fc|, 1).
bT
Коэффициенты А, /х выбраны так, что (x + y)r ^ \xr + piyr для x, у ^ 0
иг)1. Тогда по неравенству Шварца
2
к jk к
2т 2r jk^k
для каждого j. Поскольку [j]r <; ([fc] + [j - k])r Sj Affc]'- + fi[j -
k]r, мы имеем
<
A[k]r + /x[j - k]r
<
+
ajk Чз ~ k]s[k]r + Чз ~ k]r[k]s [j - k]s [k]s
и, таким образом,
Vl<V± = 4 s2
r " r M2s s
для любого j. Для немасштабированных Соболевских норм мы получаем
2
= ХЬ'Г X Фз-к'Фк
<Еи2г Е-Ь)(Е""|^1!1Л1! <
j V к А к /
< 42S2?(A2[j - fc]2"[fc]2' + /x2[j - кГ[кГ)\Ф1-к\2Ш2 = j, к
= 42S'2(A2||0||2||x/)||2 +/х2||</>||2||х/>||2).
Этот результат для масштабированных соболевских норм доказывает лемму
5.3.
§8. Приложение. Юрген Пешелъ (Jurgen Poschel) 427
2. Доказательство леммы 5.4.
Лемма 8.1. Для целых г > п выполнено
\\фои\\г ^ cr||0||r+n+i(l + ||и - id\\r),
где и: Т2п -"¦ Т2п такое, что и - id ? Нг(Т2п).
Эта лемма следует из неравенства (2.4) в [19] и стандартной Соболевской
оценки.
В дальнейшем без оговорок будем считать, что г ^ q > п - целые числа. Мы
будем также писать ||F||r+i вместо ||F - F°||r+i для краткости. Наконец,
для упрощения записи мы пишем ||Х|| < ..., если ||Х|| ^ с(...), где
константа с зависит только от порядков норм, включенных в неравенство.
Напомним, что Pv = (C(F)Fy - C0)AV для v = 1, 2, где А\ = А и А2 = А.
Лемма 8.2. Если ||F - F°||9+i ^ 1, mo
\\P"\\q<\\C-C0\\q+n+1 + \\F-F°\\q+1.
Кроме того, ||F/||r < 1 + 7r||F||r+i для г ^ q, где 7г = ||C'||r+n+i.
Доказательство.
Мы имеем C(F)Fy - С0 = (C(F) - C°)Fy + C°(Fy - I). Поскольку С0 -
постоянная матрица, мы можем применить лемму 8.1. Получим
\\C(F)Fy - C°\\q ^ \\(С - <7°)(F)||9||F||9+1 + |С°| • ||F - F°||9+1 <
<||C-C°||9+n+1 + ||F-F°||9+1.
Вторая оценка следует из
\\C(F)Fy\\r < ||C(F)||r||Fw||9 + ||C(F)||9||Fw||r <
<||C(F)||r+79||F||r+1<7r||F||r+1. ¦
Напомним, что Q = (I+Pi)~1P2 и G = -(I+Pi)~1E. В дальнейшем символ <
будет означать оценку с константами, которые зависят также от норм
матрицы С.
4280 сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе Лемма
8.3. Если для некоторого q > п имеет место
^ 1 _1_ v =
то ||<Э||в ^ Более того, ||<2||г<1 + ||Р||н-1 и ||G||r<||E||r +
||F||r+i||E||e для г ^ q.
Доказательство.
Записывая ряды Ньюмана (Neumann) для (I + Pi)_1 и используя свойство
банаховой алгебры, мы получим
\\(I + Pl)-%^ * ^l + fl,
J- - ||Pl ||gr
следовательно, ||<3||9 ^ (1 + $)||Р2||9 ^ д. Для общей оценки заметим,
что 11(Р - Pi)-1||r < 1 + ||Pi||r < 1 + ||P||r+i по лемме 8.1 и лемме
8.2. Следовательно,
ЦСЦ^Ца + РО^ЦЛРЦ. + Ц^ + РО^Ц.ЦРЦ^
<||Я||Г + (1 + ||Р||Г+1)||Р||9 < ||Я||Г + ||Р||Г+1||Р||9.
То же самое выполняется для ||Q||r. ¦
Лемма 8.4. В предположениях леммы 8.3 с константой д ^ ^
решение Z системы (5.19) существует и удовлетворяет неравенству
\\Z\\r < \\Е\\Г + ||P||r+i||?||g для r^q.
Доказательство.
По лемме 5.4 и предыдущей лемме
\\z\\r <№ + №№<
< ||Р||, + ||P||,+i||P||9 + (1 + ||Р||,+1)||Р||9 < я
<\\E\\r + \\F\\r+1\\E\\q.
Доказательство леммы 5.5.
По лемме 8.2 мы можем зафиксировать д>п + ти|)<|и выбрать ё настолько
малым, что выполнено условие малости в лемме 8.3. Таким образом, можно
применить две предыдущие леммы. Мы можем
§8. Приложение. Юрген Пешелъ (Jurgen Poschel) 429
определить F = Fy(V + R), где R = - [Fy]~1[FyV]. Применяя неравенство
Шварца к среднему значению, получим
|Д| "? |[^]_1| • \[FyV}\ ^ 11^1|У!!°" < ||У||о.
I - ||ц - t ||i
Следовательно, ||V + R\\s < ||У||в для всех s ^ 0. Мы уже заметили в
разделе 5, что ||У||Г_Т + |а| < \\Z\\r. Поскольку q - т > п и г ^ q, мы
получим
Н-РЦг-т < ll-Fyllgr-r||V + Д||г-т + ll-fyllr-rllV' + i?||9_T <
< ||У ||г-т + ll-f'llr+lll^llg-r <
< \\Z\\r + Ц^Цг-цЦ^Цд, <
< ||F||r + ||.F||,.-|_i||.E||9
по лемме 8.4. Оценка для \\(dyE)V\\r-T доказывается аналогично. ¦
3. Следующее приближение. Для заданных оценок для линеаризованного
уравнения существуют стандартная процедура в теории малых знаменателей и
обобщенные теоремы о неявной функции, которые позволяют построить решение
нелинейной задачи и показать его локальную единственность. Для полноты
повествования и для удобства читателя мы предложим способ действия в этом
частном случае.
Для нормированного решения F, а уравнения (5.21) определим следующее
приближение
F_|_ - F SnF, о:.}- = ос ос
к нулю функционала Е, где Sn определено в (5.22) и N выбрано
соответствующим образом.
Лемма 8.5. Если \\С - C°\\q+n+i + ||F - fb||9+i < S, где S - достаточно
малое и ||E(F, а)||в + |а - а°| ^ 1, то следующее приближение F+, а+
