КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Выберем U = 0 и
§4. Плотные кривые. Свойства диофантовых аппроксимаций 403
а, (3 = 7, 5 рационально независимы и аё - /З'у иррационально, из
соотношений Qjk = 0 с (3.7) следует, что j, к линейно независимы. Матрица
4 уД\
V ~ \V2 л/3
дает явный пример такого вида, когда не существует голоморфных торов.
6. Далее рассматривается четырехмерный тор (Т4, J) с постоянной
структурой J. Спрашивается, существуют ли инъективные голоморфные
отображения /: С ->• С2 такие, что проекция р о f не имеет
самопересечений. Замечательным оказывается тот факт, что такие
отображения необходимо являются линейными.
Теорема 3.3 Бангерт (Bangert). Пусть /: С ->• С2 - инъективное
голоморфное отображение такое, что образ L = /(С) удовлетворяет
соотношению
(L + 7) П L = 0
для всех элементов 7 ф 0 дискретной решетки Г в С2, rank Г = 4. Тогда / -
линейная функция.
Мы имели аналогичный результат, когда множество L было тором. Но
сформулированная теорема намного глубже, она использует теорему Пикара.
Доказательство, которым мы обязаны Бангерту, будет приведено в седьмом
разделе.
§ 4. Плотные кривые. Свойства диофантовых аппроксимаций
1. Как и в предыдущем разделе, мы рассматриваем комплексные структуры,
заданные постоянными матрицами J, и фиксируем решетку Z2(tm) в М2". Нас
интересуют комплексные прямые L, проекции p(L) которых плотны в Т2п или,
что эквивалентно, для которых
L + Z2" плотно в М2". (4.1)
Лемма 4.1. Проекция p(L) является плотной тогда и только тогда, когда
L1- П Z2" = (0), (4.2)
или, что эквивалентно, когда в представлении (3.1)
(j, а) ф 0 для всех j ? Z2" \ (0). (4.3)
404 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Очевидно, что это условие является необходимым. Действительно, если j €
L1- П Z2", j ф 0, то p(L) лежит в рациональном подторе (j, х) = 0 (mod 1)
в Г2" и поэтому не может быть плотным. Достаточность доказывается
стандартными рассуждениями, как для кроне-керовского потока. Более
сильное утверждение состоит в том, что из условия (4.3) следует
равнораспределение (в смысле Вейля (Weyl)) проекции p(L) в Г2(tm). Это
означает, что для
x = f(0=a( + a(, С = ? + Щ и для любой Z2"-nepi^H4Hott функции <р среднее
значение
Mi#) = lim Л- [[ф + /(C))dedri (4.4)
й-toо 7T.R2 J J
1С1<л °
существует и равно пространственному среднему ipo = / o{x)dx при
уф2п
условии, что выполнено (4.3). На самом деле, утверждение справедливо для
интегрируемых по Риману функций, в частности, для характеристических
функций открытых множеств. Отсюда, естественно, следует плотность
проекции p(L). Чтобы доказать указанную формулу, можно использовать
разложение Фурье и тот факт, что
М ("К+0\ "КЛ = / ^' если а) ~
V / \ 0, если (j, а) ф 0.
По предположению (4.3) только элемент с j = 0 дает вклад.
2. Для плотной проекции p(L) ее конформный тип может быть только С или
С*, поскольку компактный случай исключается. Тем не менее, возможен
случай r(L) = 1, т. е. p(L) является плотным цилиндром. Так же легко
найти С-вложения (т.е. r(L) = 0), которые не являются плотными.
В связи с этим мы хотим напомнить, что для любой заданной 2-плоскости в
М2(tm) можно построить комплексную структуру J такую, что плоскость L будет
J-голоморфной. Для этого достаточно просто дополнить базис v±, V2 в I до
базиса v±, V2, ¦¦¦ , V2n в (r)2(tm)- Если мы определим J равенствами
Jv2j-1 = V2j, Jv2j = -V2j-1
для j = 1, 2, ... , и, то ясно, что L будет инвариантна относительно J и
J2 = -I.
§4. Плотные кривые. Свойства диофантовых аппроксимаций 405
3. Для дальнейших целей мы заменим условия (4.3) на диофантово
условие, а именно, будем требовать, чтобы для некоторых положительных
констант с0, т выполнялись неравенства
l(i, ")| ^ c~1|i|_T для всех j ? Z2(tm) \ (0). (4.5)
Очевидно, это условие не зависит от параметризации и сводится к
геометрическому расположению плоскости L.
Нам также понадобится более строгое условие
| Re(j, а)| ^ сД \j\~a для всех j ? Z2" \ (0) (4.6)
для некоторых а, <т > 0. Очевидно, что из условия (4.6) следует (4.5) для
ci = Со, <т = т. Заметим, что условие (4.6) - это не свойство плоскости
L, оно зависит еще и от параметризации. Отсюда следует, к примеру, что
образ действительной оси Im? = 0 проектируется плотно на Г2(tm). Тем не
менее, стоит отметить, что для подходящей параметризации из (4.5) следует
(4.6). А именно, имеет место
Теорема 4.1. Если а удовлетворяет условию (4.5), то существует константа
А ? С, |А| = 1 такая, что
Re A (j, а)| ^ s\j\~a для всех j ? Z2" \ (0) (4.7)
для всякого а > т + 2п и некоторой константы е > 0, не зависящей от j.
Доказательство.
Покажем, что угловая мера d0 числа А = егв, для которого условия (4.7)
нарушаются при некотором j, является малой порядка е, поэтому любое А из
дополнения удовлетворяет условию (4.7) для всех
з е z2(tm) \ (0).
Из неравенства
|ReA(j, а)\ < e\j\~a
и условия (4.5) следует
ReA(j, а)
(.h а)
< с0ф'|
¦1-0-+Т
Для сое < ^ и заданного j ? Z2" \ (0) это неравенство определяет пару
