КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
части комплексного векторного поля
2 п
У^о?да,".
V = 1
Более точная формулировка этой теоремы будет дана в пятом разделе.
Е
(1.11')
392 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Замечание 4. ,70-голоморфная кривая х = а? + а-ф очевидно, содержит
действительное направление Rр, где вектор р = Rea удовлетворяет
диофантову условию (1.11'). Наоборот, ,70-голоморфная прямая определяется
по вектору р:
/:С->¦ R2"; /: а + ib ар + bj°р. (*)
Поскольку в сформулированной выше теореме действительное направление р не
меняется при возмущении, нашему утверждению можно придать более
привлекательную геометрическую формулировку, коей я обязан внимательным
судьям.
Утверждение. Пусть "7° - постоянная комплексная структура на Т = M2n/Z2n,
и пусть р € М2" удовлетворяет диофантову условию (1.11'). Через 9°
обозначим "7°-голоморфное слоение, образованное сдвигами комплексной
прямой (*).
Тогда для каждой почти комплексной структуры J6 на Т, достаточно близкой
к "7°, найдется слоение 9е на Т, состоящее из Je-голоморфных кривых,
которое является гладко сопряженным к линейному слоению, содержащему то
же действительное направление Мр, что и 9°. Кроме того, слоение 9е
однозначно определяется по этим условиям и близко к 9°.
Здесь е используется просто как обозначение, а не как параметр.
6. Эллиптические системы, описывающие голоморфные кривые. Приведенная
выше теорема является теоремой существования для эллиптической системы
дифференциальных уравнений в частных производных. Чтобы получить эту
систему, определим почти комплексную структуру другим способом, а именно,
как расщепление комплексифицированного касательного расслоения С (r) ТМ =
ТсМ. Поскольку J2 = -id, изоморфизм J определяется множествами Е = =
ker("7 + г) и Е\ тогда
ТСМ = Е + Ё, Е П Ё = (0)
определяет необходимое расщепление. Аналогично имеется двойственное
расщепление для комплексифицированного кокасательного расслоения
ТсМ = Е* +?*, где Е* - это аннулятор Е.
§ 1. Результаты. Открытые проблемы
393
Для тора М = Г2" мы выберем базис u>i, ... , шп 6 Е*, который выражается
через базис dxi, dx2, , dx2П в Т*М равенствами
2 п
шк - Ckis(.x^)dxUi
v=\
где Cku - Z2ra-nepnoAH4ecKHe функции; кроме того, очевидно, что
Л о;2 А ... Л Л tJi Л ... Л ^ 0.
Будем обозначать (п х 2п)-матрицу (Ckv{x)) через С(х).
Кривая /: С -"¦ М2га, или х = /(С), будет псевдоголоморфной, если
Гшк = Ak(x)d(
или, в координатах,
C(f)%f = 0, (1.16)
где С(х) = (Ckv(x)) - вышеупомянутая комплексная матрица. В типичном
случае С = (I, И) можно распознать в уравнениях
+ ifj+n) =0 j = 1, ... ,п
уравнения Коши-Римана для fj +ifj+n.
Вообще говоря, это нелинейная эллиптическая система. Локальную теорему
существования для таких систем доказали Ньюхаус (Nijenhuis) и Вульф
(Woolf) в 1963 году [24], когда они уточнили вышеупомянутую теорему
Ньюландера (Newlander) и Ниренберга (Nirenberg). Однако глобальные
теоремы существования были неизвестны вплоть до работы Громова [8] в 1985
г. Наш результат можно рассматривать как такую теорему существования
глобальных решений уравнения (1.16), которые на самом деле являются
квазипериодическими. Конечно, это всего лишь локальный результат (в
смысле теории возмущений), хотелось бы получить теорему существования для
больших возмущений, например, хотя бы для всех почти комплексных
структур, "смягченных" (tamed) некоторой заданной симплектической формой
(в терминологии [8]).
Можно сравнить квазипериодическую голоморфную кривую с
двоякопериодическими кривыми, которые соответствуют торам с конформной
структурой. Что является конформным инвариантом для таких
квазипериодических торов? Этот вопрос и его связь с уравнением Бельтрами
будут обсуждаться в других работах.
3940 сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
7. Аналогия с геодезической проблемой на Т2. Эта теорема имеет
замечательное отношение к геометрической проблеме геодезических на
двумерном торе и к предыдущей работе о минимальных поверхностях на
римановом торе большей размерности. Чтобы проследить аналогию, сравним 4-
мерный почти комплексный тор (Т4, J) с двумерным тором (Т2, g) с метрикой
g. В обоих случаях мы рассматриваем Т2п как фактор-пространство M2n/Z2n.
Интегрируемая комплексная структура (удовлетворяющая условию (1.4))
сравнивается с плоской метрикой (К = 0) на Т2. В обоих случаях найдутся
координаты, в которых матрицы, представляющие Jug, имеют постоянные
коэффициенты. Псевдоголоморфные кривые соответствуют минимизирующим
геодезическим в римановом случае. В интегрируемом случае это комплексные
прямые или прямые линии на накрывающем пространстве. Сохраняющиеся
геодезические - это такие прямые линии, наклон которых удовлетворяет
диофантову условию. Это частный случай теоремы Колмогорова о сохранении
инвариантных торов для гамильтоновых систем. Нашу теорему можно считать
комплексным аналогом этой теоремы.
Тем не менее, эти две проблемы имеют существенные различия. Геодезические
