КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Промежутки в этом канторовом множестве Ь? связаны с разрывами U±{х,в).
Эти разрывы возникают вдоль гиперплоскостей в = а-х + + /3. Пусть в = а ¦
х + /3* будет таким разрывом и
u± = U±(ж, а • ж +/3*), и~ (ж) < и+ (ж).
Тогда ширина промежутка 6(х) = и+(х) - и~ (х) > 0 по теореме 4.5
удовлетворяет ^ . .. .
max о (ж) ^ 7 mm о (ж)
x?Q x?Q
с константой 7, зависящей только от с, S и |а|. Это значит, что ширина
промежутка равномерно ограничена на Q, независимо от и и конкретного
промежутка.
Заметим, что в случае, когда ад, "2, ... , ап, -1 рационально независимы
J(и+(ж) - и {x))dx ^ I.1
Действительно, интеграл совпадает с
X] / [(u+(x+j) - jn+i) ~ (u~(x+j) - jn+i)\dx j Q
и множества u~(x) - jn+1 < %n+i < u+(x + j) - jn+1 не пересекаются. При
подходящем выборе jn+1 можно поместить эти множества в Qx х[0, 1] так,
что этот интеграл не превосходит 1.
1Из теоремы 4.3 и из этого соотношения следует, что и+(ж) - и~ (х) -+ 0
при
\х\ -+ оо.
§ 7. Альтернативный вариационный принцип 377
На множестве if, как и раньше, можно определить слоение ф"(х) так, что
их" - ф"(х, и) (6.9)
удовлетворяется и(х, (3) = U±(x, а ¦ х + /3) для всех (3 6 М. Как и
раньше фи(х) инвариантно при переносах х -А х + е" (v = 1, 2,... , п + 1)
и поэтому определено на 7?/Ъп+1. По той же причине, что и раньше, ф"(х)
непрерывно по Липшицу:
\фи(х') - фи{х)\ ^ ^\х' - х\ для всех х', х € 7?.
Подведем итог: в случае В) слоение (6.9), определенно на кантором
множестве 7? С Tn+1, которое задано непрерывными по Липшицу функциями.
Отметим, что для п = 1 это утверждение соответствует тому, что множества
Мезера монотонных закручивающих отображений являются подмножествами
непрерывных по Липшицу кривых (см. [14]).
§ 7. Альтернативный вариационный принцип
Рассмотрим другой подход к построению функции U(x, в) из предыдущего
параграфа. Сложность заключается в том, что эта функция в общем случае не
является непрерывной. Построим U как предел гладкой минимали U^ другого
вариационного принципа, полученного с помощью регуляризации. Здесь мы не
будем доказывать, что предельная функция совпадает с функцией U± из
предыдущего параграфа (в точках непрерывности), а только обсудим этот
самый вариационный принцип. Главным является то, что минимали этой
вариационной задачи монотонны по в, это основное свойство U±.
Рассмотрим класс функций U, для которых
U(x, в) - в е РГ1'2^^1),
т.е. U - в имеет период 1 для х\, ... , хп, в, и также рассмотрим на
W1,2(T"+1) функционал
J{u)=//1 (Ш)+ F(x> и'DU)dx d6, (7Л)
Q
378 Минимальные решения вариационных задач на торе
где
Q = {(ж, в) еГ+1, \Xv\ ^ \в\ "с\)
п - (r) л. JL v~ dxv +avd0'
Заметим, что функционал J зависит от ? и от вектора а е I11, что не
указано в наших обозначениях.
В отличие от предыдущего вариационного принципа, этот интеграл берется по
компактной области, а именно по тору T"+1 = Rn+1/Zn+1.
Для е > 0 это регулярный вариационный принцип, и при прежних
предположениях на F (см. (3.1)) стандартная теория гарантирует
существование минимали U = U(x, в, е), минимизирующей J(U). Кроме того,
по теории регулярности U - в € С2,Е(Tn+1).
Теорема 7.1. Если U = U(x, в, е) является минималью функционала (7.1) с ?
> 0, то
^>0.
дв
Перед доказательством теоремы заметим:
Лемма 7.2. Если U, V - минимали (7.1), то
U* = max(t/, У), t/* = min(f7, V)
тоже минимали.
Доказательство.
Доказательство совпадает с доказательством теоремы 5.2. Снова покажем,
что
J(U*)+J(U.) = J(U)+J(V), и т.к. J(U) = J(V) является минимумом
функционала J, получим, что
J(U*) = J{U*) = J(U),
т.е. U*, U* - минимали, т.к. они тоже принадлежат к классу допустимых
функций. ¦
Лемма 7.3. Если U,V - минимали (7.1) uU ^ У, то либо U < У, либо U = У.
§ 7. Альтернативный вариационный принцип 379
Доказательство.
Это следствие из принципа максимума для эллиптических дифференциальных
уравнений в частных производных. Покажем, что
? (й) U + U, DU) - Fu(x, 17, DU) = О,
? (Je) V + J2D-Fp^x' V' DV) " F"(x' V' DV) = °'
и поэтому W = V - U > 0 удовлетворяет эллиптическому дифференциальному
уравнению в частных производных
? (^) W + Е Dv(avll(x, в)Б^) + Y, b-D-W + cW = 0.
Теперь утверждение следует из леммы 4.6. ¦
Доказательство теоремы 7.1.
Сначала покажем, что U(x, в) строго монотонна по в. Отметим, что вместе с
U(x, в) V(x, в) = U(x, в + с) - также минималь для любой константы с, т.
к. вариационный принцип не зависит явно от в. Кроме того,
U(x, в) = U(x, в) - в, V(ж, в) = V(х, в) - в = с + U(x, в + с) имеет
период 1 по всем переменным. Отсюда
JJ(V - U)dx йв = JJ(У~ &)dx dd = с.
Q Q
Поэтому, если с > 0, то
тах(У - U) > 0.
Q
Мы утверждаем, что V - U > 0 повсюду. Если нет, V - U где-то принимает
значение 0. Отсюда U* - U тоже где-то будет равно нулю, если U*
определяется выражением
U* = max(f7, V) > U.
380 Минимальные решения вариационных задач на торе
Используя леммы 7.2 и 7.3 приходим к выводу, что U* = U. Пришли к
противоречию, поэтому U(6 + с) - U(6) > 0 для с > 0 и поэтому
