КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
этой замены координат равен константе, а именно - 7ге2+г/. Следовательно,
преобразованное отображение (х±, уф) -> (жг, г/2) будет сохранять элемент
площади dx A dy и, фактически, будет точным сим-плектическим.
Для того чтобы записать отображение в этих координатах, заметим, что для
мнимой точки W2 = имеем |гх?212 = \w\2 +
+ 0{\w\2m+z), таким образом ?2(1 + ?иу2) = ?2(1 + ?vyi) + 0(?2m+z) или
т/2 = г/i + 0(?2ш+1_г/). Аналогично, находим Х2 = Xi + -^(а + /3?2т(1+
+?vyi)m) + 0(?2m+1) или, раскладывая в ряд по степеням т, получаем Ж2 =
Xl + а + 77/! + 0(?2т+2П, 7/2=7/!+ 0{t?m+1~V),
где а = -^-(а+l3?2т), j = r^.e2m+v у g заметим, что два поправочных
Z7T Z7T
члена имеют одинаковый порядок в силу выбора и.
328 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
Это отображение имеет вид, необходимый для применимости теоремы
предыдущего раздела, и так как ?2т+2г/ = е2т+1_г/ = 0(-y1+fl) при fj, = -
-> 0, поправочный член существенно мал по сравнению
с 7. Кроме того, отображение вещественно-аналитическое в \yi\ < 1, | lmxi
| < г. Таким образом, при достаточно малых е каждое такое кольцо содержит
инвариантную кривую, что и доказывает наше утверждение.
С. Замечания по литературе
Первоначальная теорема об инвариантной кривой [8] была доказана при
других предположениях. При этом отображение не было ни вещественно
аналитическим, ни точно симплектическим, а только достаточно гладким
отображением, удовлетворяющим определенному свойству пересечения кривых
(которое входит также в доказательство Дж. Д. Биркгофа обобщения
"последней геометрической теоремы Пуанкаре" [1]). В этом смысле
представленное утверждение более ограничено, но тем не менее достаточно
для многих применений. Следует заметить, что наше доказательство может
быть расширено на случай гладких сохраняющих площадь отображений,
используя метод аппроксимаций, описанный в [11], [14]. Случай
вещественно-аналитических отображений, удовлетворяющих свойству
пересечений кривых, был рассмотрен в [15], но с использованием теории
преобразований.
Как упомянуто во введении, представленное доказательство возникает при
изучении аналогичных теорем для дифференциальных уравнений в частных
производных, где теория канонических преобразований неприменима. Это было
проделано в [9], где также можно найти прием "вариации произвольных
постоянных". В гамильтоновом случае соответствующее доказательство было
проведено Саламоном и Зиндером в [14].
Существует обширная литература по более тонким вопросам, касающимся
теоремы об инвариантных кривых. Например, предположение о минимальной
гладкости для применимости теоремы было изучено Рюссманом [12] и в
развернутых статьях М. Эрмана [3], [4], где можно найти дальнейшие
результаты по этой задаче, например, по разрушению инвариантных кривых. В
аналитическом случае условие диофанто-вости можно заменить более слабым,
так называемым условием Брюно. Этот случай был подробно исследован
Рюссманом, см. [13]. В частное-
Литература
329
ти, мы хотим указать на то, что его аргументы в [12] и [10] приводят к
улучшенным оценкам в лемме 9: можно заменить величину а + 2 на а + 1 в
(20), и, следовательно, т = сг + 2нат = (т + 1в тексте, следуя лемме.
Представленный список литературы, конечно, не полный, и читатель может
найти дополнительную информацию в цитированных работах. В частности, в
разделе 16 исследования Мезера и Форни [7] содержится обсуждение
различных результатов по отображениям кольца.
Мы также хотим указать на то, что обобщенно-аналитические отображения
вблизи эллиптических неподвижных точек обладают, кроме инвариантных
кривых, также и множествами Мезера, которые являются канторовскими
множествами. Точнее, если зафиксировать зарождение эллиптической
неподвижной точки общего типа, то можно сколь угодно малой заменой в
членах произвольно высокого порядка добиться того, что измененное таким
образом отображение будет обладать такими невырожденными множествами
Мезера в каждой окрестности неподвижной точки. Это было доказано
Дженекандом [2] при уточнении более ранней статьи Зиндера [16]. Все
упомянутые доказательства основываются на функционально аналитических
методах и итерационной технике. Любопытное доказательство, полностью
избегающее итеративные аппроксимации, содержится в статье И. Катцнелсона
и Орнс-тейна [5], [6]. Оно базируется на тонких оценках орбит
отображений. Это дает более строгие результаты, но затрудняет понимание.
Литература
[1] G. D. Birkhoff, An extension of Poincare's Last Geometric Theorem,
Acta Math. 47, pp. 297-311, 1925.
[2] C. Genecand, Transversal homoclinic points near elliptic fixed points
of area-preserving diffeomorphisms in the plane, Dynamics reported, 1-30,
Dynamics Reported Expositions Dynamical Systems, (New Series) 2, 1993.
[3] M. R. Herman, Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes de
I'anneau I, Asterisque 103/104, 1983.
[4] M. R. Herman, Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes de
