КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
measures. Comment. Helvetici 64 (1989) 375-394. - Прим. перев.
(2.1)
<Чр|2 - с0 ^ F(x, и, р) ^ 50 1\р\2 + с0
(2.2)
§2. Минимальные решения на торе
341
для всех х, и, р, где <5о ? (О, 1), со > О - константы. И последнее,
положим, что F имеет период 1 по х±, жг, ... , хп и и, поэтому (2.1)
можно рассматривать как вариационную задачу на торе Tn+1.
Нашей целью является получение свойств минимальных решений, определенных
ранее и имеющих дополнительное свойство, заключающееся в том, что и =
и(х) не имеет самопересечений на Тга+1. Будем говорить, что и не имеет
самопересечений на Тга+1, если решение после переноса
TjU = и(х + j) - jn+1 с j = (ji, ... , jn+1) ? Ъп+1
не пересекает и, т. е. если для любого j ? Zn+1
tju - и (2.3)
не меняет знак. Другими словами, эта разность либо положительна, либо
отрицательна, либо тождественно равна нулю.
Для пояснения смысла определения рассмотрим пример интеграла Дирихле
J\ux\2dx, (2.4')
для которого любая гармоническая функция и является минимальным решением.
Она не имеет самопересечений тогда и только тогда, когда является
линейной функцией
и{х) = а ¦ х + /3, а ? Г, /3 € I. (2.4")
Действительно, гармоническая функция и(х + j) - и(х) должна быть
константой, т. к. любая положительная в М" гармоническая функция (по
неравенству Харнака) является константой; т. е.
u(x + j) -и(х) = c(j).
Здесь константа c(j) удовлетворяет c(j + h) = c(j) + c(h) и поэтому имеет
вид c(j) = а • j с некоторым вектором а ? К(tm). Иначе говоря, функция
и(х) = и(х) - а ¦ х
гармоническая в М" и удовлетворяет u(x + j) = и(х), поэтому является
константой, например /3, что доказывает утверждение.
342
Минимальные решения вариационных задач на торе
Вообще, для п = 1 линейные функции являются единственными гармоническими
функциями, и они автоматически не имеют самопересечений. Это выполняется
в общем случае для вариационных задач (2.1), удовлетворяющих (2.2), если
п = 1. Однако для п ^ 2 легко найти минимальные решения с
самопересечениями, например, гармоническая функция и = Х1Х2. Другими
словами, условие о том, что орбиты минимальной энергии не имеют
самопересечений, нужно требовать лишь для п ^ 2.
Главный результат этого параграфа заключается в следующем:
Теорема 2.1. Если и = и(х), х ? Ж" - минимальное решение (2.1) без
самопересечений, и если выполняется (2.2), то существует единственный
вектор a G Ж" такой, что
|и(х) - а ¦ х|
ограничено при всех х G К(tm). Кроме того, существует константа с±,
зависящая только от со, <5о такая, что
при всех х, у.
С геометрической точки зрения это означает, что расстояние между
поверхностью z = и(х) и гиперплоскостью z = а • х + и(0) меньше либо
равно ci. Мы будем называть а вектором вращения и.
Доказательство сильно зависит от фундаментальных работ Де Джорджи,
Ладыженской и Уральцевой, Джиаквинта и Джиусти, Трудингера и других.
Прежде всего, согласно работе Джиаквинта и Джиусти, любое минимальное
решение локально ограниченно и даже непрерывно по Гельдеру, поэтому имеет
смысл говорить о его значении в точке. Джиаквинта и Джиусти доказали этот
результат, проверив, что минимальные решения и (и в более общем случае
квазиминимумы) и -и удовлетворяют неравенствам (см. [7], четвертый
параграф; мы используем частный случай со значениями т = 2, g = со, сг =
оо).
|и(х + у) - и(х) - а ¦ у\ ^ Cl л/l + \а\2
(2.5)
Ау(к,р)
Ау(к,г)
для всех 0 < р < г и всех вещественных к, где
Ау(к, р) = {х € К(tm), \х - у\ < р, и{х) > к}
(2.6)
§2. Минимальные решения на торе 343
и | Ау(к, р) | обозначает меру Лебега этого множества. Константа 7
зависит только от со, <5о- Функции и ? И^'2(ЖП), удовлетворяющие такому
множеству неравенств (2.5), называются классом Де Джорджи DG^, благодаря
фундаментальной работе Де Джорджи о регулярности эллиптических
дифференциальных уравнений [4]. По сути дела, если и и -и принадлежат DG%
, следовательно, и локально ограничена и даже непрерывна по Гельдеру
(см. [15], вторая глава, шестой параграф или [10],
[11]). Кроме того, в соответствии с леммой 6.2 [15] (вторая
глава) вы-
полняется неравенство
osc и < в( osc и + с2г), (2.7')
|ж|7г >|^2г
где в ? (0, 1), сг > 0 зависит только от 7, но не от функции и или от г.
В полученном выше результате сферы |ж| ^ г, |ж| ^ 2г можно заменить,
например, кубами; возьмем
Q=[x? М", |ат"| < |} , 3Q = [х ? Mn, \х"\ < |} .
Тогда выполнено
osc и < 9(oscu + С2) (2.7")
Q 3Q
с некоторыми другими константами в ? (0, 1), с2 > 0.
С другой стороны, мы используем то, что и не имеет самопересечений.
Рассмотрим для фиксированного х ? Ж" счетное множество
Sx = {u{x + j) -jn+i, j ? Zn+1}
и переносы t": Sx Sx, определяемые
tv(u(x + j) - jn+1) = u(x + e"+ j) - jn+1,
где ev является v-м единичным вектором. Тогда
tv(s + 1) = tv(s) + 1 для s ? Sx
и tv(s) < r"(s') для s < s', s, s' ? Sx, т.к. и не имеет самопересечений.
Если т" был бы определен для всех вещественных s, он определял бы
отображение окружности I/Z в саму себя. Для такого отображения
