КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Для вариационных задач (1.2) была разработана обширная теория. Известно,
что все минимали, лежащие в шаре В, принадлежат С1'6(В) и удовлетворяют
уравнениям Эйлера. Это следствие теории регулярности для таких задач. В
наиболее подходящем для нас виде эта сложная теория представлена в книге
Ладыженской и Уральцевой [15]. Она основана на фундаментальной работе Де
Джорджи (De Giorgi) [4], который разработал первый подход к получению
поточечных оценок слабых решений эллиптических дифференциальных уравнений
в частных производных. Эти оценки используются для доказательства
непрерывности по Гельдеру решений. Этот метод получил развитие в работах
§ 1. Введение
339
многих математиков, таких как Морри (Моггеу) [17], Гильбарг-Тру-дингер
(Gilbarg-Trudinger) [12], Джиаквинта, Джиусти, Ди Бенедетто-Трудингер (Di
Benedetto-Trudinger), которые доказали неравенство Харнака (Harnack) в
очень общем случае. Не будем вновь доказывать качественные утверждения о
регулярности минималей, а воспользуемся поточечными оценками, в частности
неравенством Харнака, для получения количественной информации. Чтобы
получить ограничения на минимали (см. утверждение теоремы 2.1), можно
воспользоваться прекрасными работами Джиаквинта и Джиусти [7], [9]. Они
установили, что квазиминимумы (обобщение концепции минималей) принадлежат
к так называемому классу Де Джорджи, для которого Ди Бенедетто и
Трудингер [5] доказали свое неравенство Харнака, используя более ранние
идеи Крылова и Сафонова. Благодаря этим глубоким результатам,
получающиеся доказательства довольно просты и естественны. Можно сказать,
что эта работа является комбинацией изучения действия фундаментальной
группы на множестве минималей с поточечными оценками и сильного принципа
максимума для эллиптических дифференциальных уравнений в частных
производных.
i) Нерешенные задачи
Было бы желательно разработать подобную теорию для минимальных
поверхностей на Т"+1 относительно римановой метрики. Соответствующее
подынтегральное выражение F в (1.2), однако, возрастает лишь как \р\, и
теория разрушается. В таком случае нужно рассматривать минимальные
поверхности, не являющиеся графиками функций. Для подобной теории
потребуется истинное обобщение. Это было бы интересно, поскольку такие
исследования могут привести к теории минимальных поверхностей
коразмерности 1 на других многомерных многообразиях, и также с
некоммутативной фундаментальной группой. Фактически, для п = 1 такая
теория была разработана Дж. Хедлундом [13] (G.Hedlund), который изучал
минимальные геодезические (геодезические класса А) на торе. Результаты
были обобщены Г. Бизманом (Н. Buseman) на финслеровы метрики и G-
пространства. Современное изложение этих идей можно найти у Бангерта [3]
(Bangert), где есть ссылки на другие публикации. Также его теория имеет
общие аспекты с теорией Обри, но его орбиты не обязаны быть графиками
функций. В этом отношении его работа является более общей, чем работа
Обри.
340
Минимальные решения вариационных задач на торе
Для компактных поверхностей более высокого рода такая теория уже была
разработана М. Морсом [18] (М. Morse) в 1924 году.
Отметим, что нами получены только первые фундаментальные части такой
теории минимальных решений на торе. Не было доказано, к примеру, то, что
канторово множество !? не зависит от порождающего минимального решения и
? Ж {а). Для п = 1 это верно, однако доказательство этого факта не
переносится прямо для больших значений п. Недавно В.Бангерт1 с успехом
доказал такое утверждение для п ^ 2; точнее, он показал, что минимальное
множество Ж0 переносов и(х + j) - jn+i, j ? Z"+1 рекуррентной минимали и
? Ж{а) не зависит от выбора и. Таким образом, множество J^o = Жо(а),
являющееся канторовым множеством на торе или всем тором Т"+1, связано с
вариационной задачей и вектором вращения а, а не с каким-либо
определенным решением и.
Существует другое возможное обобщение теории Обри и Мезера, в котором
изучаются инвариантные множества Мезера для гамильтоновых систем с числом
степеней свободы больше двух. В данном направлении существует только
теория возмущений, так называемая КАМ-теория, а общей теории нет2. Наша
работа этого вопроса не касается, т. к. нас интересует многомерное
обобщение, где решения являются гиперповерхностями коразмерности 1, а не
одномерными кривыми. Между прочим, в нашей ситуации также можно построить
теорию возмущений, обобщающую возмущение инвариантных торов. Она будет
сформулирована в восьмом параграфе.
§ 2. Минимальные решения на торе
Рассмотрим на торе T"+1 = M"+1/Z"+1 вариационную задачу
где подынтегральная функция F(x, и, р) непрерывна по и, р и измерима по
х. Кроме того, она должна удовлетворять неравенствам
Х"А uniqueness Theorem for Zn-periodic variational problems", препринт,
Берн, 1986. Бангерт использовал более ограничивающее понятие
рекуррентности, чем наше определение 6.4
2В настоящее время такая теория имеется. См., например, J.Mather, Minimal
